Soient

n fonctions indéterminées d'une variable t\ on peut toujours les considérer comme un système fondamental d'intégrales d'une équation différentielle linéaire

dont les coefficients ont pour expressions

SUR L INTÉGRATION DES ÉQrATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

avec

dP,

dxx dT

dXm

dx

Ax.^

dt

dXy "dt

dx, Ht

d^'-^Xi dl"-'

dt^-^

dl"*^''

dV"-^-'

dt''

dV'-^-^ dU' dV'-^-^'^

df"

A l'égard de cette équation, le groupe linéaire homogène général à n indéterminées

— ^aijXj

(ei=rl,2, ...,/l)

joue le même rôle que le groupe des substitutions de n lettres dans la théorie des équations algébriques de degré n.

Nous considérons dans ce qui suit des fonctions rationnelles de ^1, . . ., ^«» de leurs dérivées successives prises par rapport à t, et de la variable t. C'est ce que nous appellerons, pour abréger, des fonctions rationnelles des intégrales x^^ . .., 0?^ de l'équation (2); et nous représenterons une telle fonction simplement par la notation

Parmi ces fonctions nous nommerons/o/2c//o/î5 invariantes celles qui admettent toutes les transformations du groupe (4)- Elles jouent ici le rôle des fonctions symétriques des racines dans la théorie des équations algébriques.

2. Fonctions invanan/es. — Les coefficients X^, Xj, ..», X„ de l'équation (2) sont des fonctions invariantes de ir<, . .., x^ et de leurs dérivées; cela résulte de leurs expressions. De plus ces fonctions sont indépendantes, puisqu'on peut prendre pour ces quantités des fonctions arbitraires de /, et choisir pour x^, .. ., x^ un système fonda-

l8 E. VESSIOT.

mental d'intégrales de Téquation (2) ainsi formée. Pour la même raison, il ne peut exister aucune relation identique (par rapport aux a? et à leurs dérivées) entre les fonctions X et leurs dérivées par rapport à t, prises jusqu'à un ordre quelconque. Ces dérivées sont d'ailleurs ellesmêmes des fonctions invariantes (I» Ch. I, § 3).

Il n'existe pas au fond de fonctions invariantes autres que les précédentes, comme le montre le théorème suivant, du à M. Appell (').

Théorème. — Toute fonction rationnelle invariante de x^ . . .^ x^ s'exprime rationnellement au moyen de tj de\^, . .., "k^et de leurs dérivées.

Notre démonstration est analogue à la méthode de Cauchy pour le calcul des fonctions symétriques. Elle repose sur deux remarques.

Remarque L — Soit R(a;|, . . ., a?„) une fonction rationnelle de .r,, ...,^n. Nous pouvons y faire disparaître les dérivées des ^r d'ordre égal ou supérieur à /z, en nous servant des identités

d'^Xi . d" ^Xi . , .

~dt'' ~^^~dr~-^' -...-^KXf:=0 (£ = 1,2, ...,/î),

et de celles qu'on en déduit par différentiations successives. Nous obtenons ainsi une expression

dt' "

Il ^ J7|, . . . , Xfj ) — I<1 ( ^1 1 • • • î ^n I '"'l> • • • » ^ff >

Cela posé, si R admet la transformation

X î — ^r df / X J l t I,^« . . » y fil ) ^

on a, puisque les X et leurs dérivées sont des invariants.

De plus, cette relation doit être une identité par rapport aux ar et aux X, sans quoi elle établirait une relation non identique entre les X, leurs dérivées, etar^, . . ., ic^j et leurs dérivées jusqu'à l'ordre /i — i. Or cette

(1) Annales de l'École Normale supérieure, i88f .

SUR l'intégration des équations différentielles linéaires. cg

relation, considérée comme une équation différentielle en Xi par exemple, admettrait toutes les intégrales de Téquation (2), ce qui est impossible, puisqu'elle est d'ordre n — 1 seulement.

Il résulte de là que K, admet exactement les mêmes transformations du groupe (4), qu'on y considère les X et leurs dérivées comme des fonctions des intégrales, ou comme des quantités indépendantes de x. Nous pourrons donc toujours supposer dans la suite que les fonctions rationnelles des intégrales à considérer ne contiennent pas de dérivées d'ordre supérieur à /i — i .

Remarque II, — Il n'existe pas de fonctions invariantes d'ordre inférieur à /i, si ce n'est des fonctions indépendantes des x et de leurs dérivées. En effet, une telle fonction devrait vérifier (I, Chap. I, § 3 ) les n^ équations à n^ variables

àf dxi ôf d" -'jL'i ôf

'^ô^, ^ -dT d^ -"-'"-^-dt^^- 7^^ ""^ ^'' ^'"" '' '' • •-'')'

^ dt dt'"''

ce qui est impossible, ces équations étant indépendantes.

Cela posé, soit R(ar^, ...,a?„) une fonction invariante quelconque. Faisons-y disparaître les dérivées d'ordre égal ou supérieur à /?, et soit R,(ir|X) la fonction obtenue. En vertu de la Remarque I, c'est une fonction invariante, les X y étant regardés comme des quantités indépendantes des x\ donc, en vertu de la Remarque II, comme elle ne contient plus les x explicitement que par leurs dérivées d'ordre au plus égal à n — I, elle en est entièrement indépendante. C'est donc l'expression annoncée pour la fonction R.