CHAPITRE II

TRANSPORMfiES d'L'NB ÉQUATION LlNÉAlRIi:.

1 . Groupe d* une fonction rationnelle des intégrales. — Soit R (x^ , ,,.,x„) uneTonction rationnelle de j?^, . . . ,.r„. Les transformations du groupe Cl) qu'elle admet forment elles-mêmes un sous-groupe, que nous nom-

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nions \e groupe de la fonction R. Ce groupe peut se réduire à la seule transformation identique.

On obtient les transformations de ce groupe en écrivant que la relation ^

est une identité. Cela fournit un certain nombre de relations algébriques et entières entre les constantes a, d'où Ton devra tirer leur expression en fonction d'un certain nombre de paramètres. Les équations du groupe dépendent donc algébriquement des paramètres qui y figurent, c'est-à-dire que le groupe est un groupe algébrique F.

Les transformations infinitésimales de ce groupe peuvent s'obtenir directement ; on écrit que la relation

V< / àK dxi <JR \

est identique, ce qui donne des relations linéaires et homogènes entre les e, d'où l'on tire un certain nombre d'entre eux en fonction linéaire et homogène des autres, qui restent arbitraires. En portant ces valeurs dans l'expression

on a la transformation infinitésimale générale du groupe. Les coefficients des constantes arbitraires sont les transformations infinitésimales cherchées; elles engendrent un groupe G.

Si le groupe T peut être défini par un seul système d'équations, il se confond avec G. Dans le cas contraire, c'est un groupe complexe. (fWrl, Chap. I, § 2.)

Exemple I. — Soient /i = 2

^ I / dx^ dxx

dt ^ dt

On trouve, pour le groupe de R,

\ je \ — Cl X\ «

et, pour le groupe des transformations infinitésimales,

r se confond avec G.

Exemple IL — Soit n = 2,

Vif dx>t dxC\Y

On trouve pour F

et, pour G, le même groupe que précédemment. F est donc un groupe complexe, et, si Ton désigne parT la transformation

' JTj X\y

r s'écrit symboliquement G, GT.

2. Transformées cV une équation linéaire. — Soit toujours R(.r|, ....x^) une fonction rationnelle des intégrales, et soit p = n^ — s le nombre de paramètres de son groupe, c'est-à-dire le nombre des transformations infinitésimales linéaires homogènes distinctes qu'elle admet. Je disque R, considérée comme fonction de l, est intégrale d'une équation difTérentielle algébrique d'ordre s, à coefficients rationnels en t, en X^, ..., X;, et leurs dérivées. Nous appelons cette équation une transformée de l'équation linéaire/(^) = o.

Voici, en effet, un premier procédé pour obtenir cette transformée, rappelant l'emploi des fonctions symétriques dans la transformation des équations algébriques. Posons

(5) V--R(a:i, . . . , x„ ) =z R(2ûri,/a7/, . . ., 2a„,/j;,);

c'est ce que nous nommerons la v>aleur générale de R. Elle dépend, d'après notre théorème fondamental (I, Chap. II, n'^2), exactement de s paramètres essentiels. Or, toute équation de la forme annoncée, ayant V. 4

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pour coefficients des invariants du groupe (/|), admettra pour intégrales toutes les fonctions (5), si elle admet R ; elle ne peut donc être d'ordre inférieur à s.

D'autre part, puisque V dépend seulement de s paramètres essentiels, on peut éliminer tous les paramètres que cette fonction renferme entre Téquation (5) et celles qu'on en déduit en différentiant s fois. Le résultat est une équation différentielle algébrique en V, d'ordre 5 au plus, et dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de a?|, ..., Xn, Or, si l'on effectue dans le second membre de (5) une transformation linéaire homogène quelconque

^*=2 ^iJ^J ('"— ^2, . . .,/i),

on pourra, par un changement de paramètres, l'écrire sous une forme analogue

et un calcul identique au précédent conduira par suite à une équation admettant les mêmes intégrales que la précédente, et qui n'en différera qu'en ce que, dans les expressions des coefficients, les x seront remplacés par les X. Cette équation sera donc identique à la première, dont les coefficients, si l'on en réduit un à l'unité, sont, par conséquent, des fonctions invariantes des x^ et peuvent s'exprimer rationnellement au moyen de /, de X^, .. ., X„ et de leurs dérivées. Ce dernier calcul étant fait, on a la transformée annoncée, et qui sera, d'après ce qui précède, exactement d'ordre s.

3. Une autre méthode de calcul, qui correspond au procédé par élimination employé pour la transformation des équations algébriques, va nous permettre de préciser la nature des intégrales de la transformée. Nous montrerons en effet que ces intégrales sont précisément toutes les fonctions que l'on déduit de R en y remplaçant les x par n autres intégrales de l'équation linéaire donnée, formant ou non un système fondamental; ce qui revient à dire que toutes ces intégrales sont comprises dans la formule (5), où les constantes a peuvent recevoir toutes les valeurs. Si ces valeurs sont telles que le déterminant

2(dia^<a22.. .a,,,,) soit nul, on a des intégrales en quelque sorte singulières, ou mieux non fondamentales.

Supposons qu'on ait fait disparaître de R les dérivées d'ordre égal ou supérieur à n. D'autre part, posons, pour abréger,

^/ dx^ d^-^x* dxn d"^-^x„ \

2rdxi dr W âXi "^

dt Jid\ dt ôxi dl- .dxi^ • • • ^^n-\ d'^-^Xi

dt dt''-''

dt^-' J

Soit enfin

DR =1:1 Ri, DRi^=:Rj, ••., DR^i:=:R.ç.

Entre les 5 équations

dW d*\

dt ~~ '' ' dt'

on doit pouvoir éliminer

dx^ dxn d'^-^Xx d'^-^Xn

En effet, R admettant p -- n^ — s transformations infinitésimales du groupe linéaire homogène est intégrale du système complet de p équations à n^ variables indépendantes obtenu en égalant à zéro ces transformations prolongées jusqu'à l'ordre /i — i; et il en est de même deR^, . . ., R„ qui ne sont autre chose que les dérivées de R, d'où l'on a fait disparaître les dérivées d'ordre supérieur (*). Donc R, R<, ...,R, sont ^ ^- I fonctions de s intégrales indépendantes de ce système complet, d'où résulte la possibilité de l'élimination. '

Cette élimination fournit une relation algébrique

(») Voir I, Ch. 1, n* 3 et H, Ch. 1, n** 2, Rem, I.

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dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de X^, ..., X^,, de leurs dérivées successives, et de t. Comme dans le calcul précédent, on s'est servi uniquement de ce que ^r,, ...,rC;,sont des intégrales de Téquation linéaire; Téquation obtenue admet bien pour intégrales toutes les fonctions annoncées. Pour la même raison, Télimination doit être impossible, tant qu'on ne pousse pas les différentiations jusqu'à Tordre .v, car une équation différentielle d'ordre inférieur à ^ ne peut pas admettre une intégrale contenant s paramètres arbitraires essentiels.

Remarquons enfin qu'on peut supposer $ irréductible, au sens algébrique; car, s'il ne l'était pas, un de ses facteurs irréductibles égalé à zéro donnerait une équation admettant pour intégrale R(j"^, ...,^„); ses coefficients étant des invariants, cette équation admettrait pour intégrales toutes les fonctions (i); elle pourrait donc remplacer l'équation (7).

Je dis maintenant que cette équation n'admet pas d'autre intégrale que les intégrales annoncées. Pour le démontrer, nous remplaçons

dans R, R«, ..., R, les quantités -j^ par x\, -^ par œ], etc. ; soient P,

P«, ..., P, les fonctions ainsi obtenues. Soit de plus V une intégrale quelconque de l'équation (7); les équations

sont alors compatibles, ou mieux, tout système de valeurs des ^r,, x\ x^l'~^\ qui vérifie les s premières, vérifie la dernière. Considérons l'un de ces svstèmes : les a:,, x.y .. ., it?!.""" v sont des fonctions de / dont les dérivées satisfont aux identités

dW dV^ . ^ (dxi dP . dx\ d? . . ^x}«-*' dP

clt ôt ^\dt ÔJLi dt dxi dt d^!'* *'

dl' '^ dt '^2à\dl ÔXi ~^ dt dx'i ■^•••"^ de Ox'/"'\)'

SUR l/lNTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. aS

et, par suite, à cause des identités (8), aux relations

dt

+ X,a7r^'-+-. . . 4- A„a:,j ^^pir]

Ces relations sont linéaires et homogènes par rapport aux quantités

/ \ ; Zn — ^' » ^77 -r- ^\X) 4- . . . -t- Art

(lo) < «^ dt

qui sont au nombre de w'. De plus, Tun au moins des déterminants de degrés du tableau de leurs coefficients n'est pas identiquement nul; considérons ce déterminant et annulons toutes les quantités (lo) (en nombre n} — s) dont il ne contient pas de coefficients. Les équations obtenues, jointes aux s premières équations (8) forment n^ équations en X, x\, . . ., a:',"'*'; ... ; x„, x\, . . ., ^^„'*"*' qui admettent toujours des solutions; car les inconnues qu'on pourra tirer des équations (8) sont précisément celles qui ne figurent pas sous le signe de différentiation dans les autres équations.

Mais alors les identités (9) expriment que les autres quantités (10) sont nulles aussi, c'est-k-dire que les fonctions de t que nous venons de définir sont n intégrales de l'équation linéaire et leurs dérivées jusqu'à l'ordre /i — i. V est donc bien de la forme annoncée.

Remarque. — Les valeurs initiales des inconnues qui ne correspondent pas aux colonnes du déterminant considéré demeurent arbitraires. Notre raisonnement n'est donc en défaut que si toute solution des s premières équations (8) annule tous les déterminants du tableau des dérivées partielles de P, P^, ..., P,.|. Or cela est impossible si Y

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dépend de X^, . . ., X^, car alors les valeurs numériques de V et de ses dérivées, pour une valeur particulière de t, sont arbitraires, les X étant des fonctions indéterminées ; de sorte que cela reviendrait à admettre que ces déterminants sont nuls identiquement, ce qui est contraire à riiypothèse.

Il reste donc à prouver que l'équation (7) ne peut pas admettre, quels que soient X^, .. ., X^, une même fonction de t pour intégrale. Posons à cet effet

u étant une fonction indéterminée. W satisfait à Téquation d'ordre 5, qui se déduit de (7), et que nous écrivons pour abréger

(II) *(W-~£^X,) proj-

et aussi à une autre équation du même ordre

(12) ^^(W)--rrO,

que l'on peut former directement. $ et ^ étant, comme polynômes en

dt

W, -^— j • • • » supposés irréductibles, on a

K étant seulement une fonction de /. Or l'équation (ii) ne peut admettre d'intégrale indépendante de X^, . .., X^, telle que 0(^ m), car alors l'équation (7) admettrait une intégrale de la forme

laquelle ne pourrait être indépendante de u. Donc l'équation (12) n'admet pour intégrales que les diverses valeurs de W, et par suite Téquation (7) n'admet pour intégrales que les diverses valeurs de V — W -- aX|, et par conséquent aucune intégrale ne dépendant pas de Af , . . • , A„.