DES AUTRES

1. La résolvante générale, — Soit V = R(^,, . . . , x^) une fonction rationnelle dont toutes les valeurs soient différentes; les équations (8) du Chapitre précédent n'ont alors en x^, ..., Xn\ x\y ..., j?^, ; ...; a^j""*', ... jO?^!*"*' qu'une solution, et les valeurs des inconnues s'expriment rationnellement au moyen de V, -j-» •••> de X,, .. ., X^, de leurs dérivées, et de /. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème. — Si une fonction rationnelle des intégrales x^, . .. , x„ d'une équation linéaire d'ordre n n'admet aucune transformation linéaire homogène en x^^ . ,, , x^, ces intégrales s'expriment rationnellement au moyen de cette fonction, des coefficients de l'équation, de leurs dérivées et de la variable indépendante t.

Telle est la fonction

où les u sont des fonctions indéterminées de /. Elle dépend d'une équation linéaire d'ordre /i^, qui est analogue à la résolvante générale de Galois pour les équations algébriques (*). Les expressions de a?i , . . . , 07,, en fonction de V et de ses dérivées s'obtiennent ici en résolvant des équations du premier degré.

2. Théorème. — Si la fonction rationnelle ?i{x^ , . . . , x„) admet toutes les transformations linéaires homogènes qui constituent le groupe de la fonction rationnelle R(ir|, . . . , j?^), elle s'exprime rationnellement au moyen rfe R, r/é? X, , . . . , X,,, de leurs dérivées et de t.

(0 C'est, à une légère modification près, Téquation qui a servi de point de départ aux recherches de M. Picard sur notre sujet.

28 E. VESSIOT.

Soit, en effet,

Téquation différentielle dont dépend S; et posons

u étant une fonction indéterminée et x^^, ..., x^un système d'intégrales de Téquation linéaire. V est donné par l'équation

Posons, d'autre part,

alors V dépend d'une autre équation que l'on peut former directement, soit

Cherchons les intégrales communes aux équations (i) et (2) : elles

correspondent aux systèmes iC|, ..., x^, a?,, ..., x„, tels que Ton ait

c'est-à-dire

Or, par hypothèse, si l'on a

on a aussi

de sorte qu'il n'y a qu'une intégrale commune, qui est

Elle est donc fournie par une équation algébrique de la forme

9 1 V,;Ro, -^.•••;A„...,>.„-^,.-j«. ■^'••SM-O.

sua l'intégration des équations différentielles linéaires. 29

De plus cette équation doit être du premier degré en Vo, car V© est uniforme en même temps que x^, .,., x^ei u^ et les équations (i) et (2) n'ont pas d'autre intégrale commune que cette fonction uniforme; elle peut donc s'écrire

F étant une fonction rationnelle; et l'on en conclut

ce qui démontre le théorème.

Remarque. — Le théorème précédent correspond au théorème de Lagrange sur les fonctions rationnelles des racines d'une équation algébrique.

Corollaire. — 5i S(iC| , . . . , x,f) admet toutes les transformations cornmunes aux groupes des fonctions R| , Ro, ...» R^, elle s' exprime rationnellement au moyen de ces fonctions, des coefficients de l équation linéaire, de leurs déris^ées et de t.

Car elle admet toutes les transformations du groupe de la fonc

tion

R ~ tf 1 R, -f- . . . -h M^ R^„

où a, , . . ,Up sont des fonctions indéterminées de /.

3. La théorie des invariants différentiels de M. Lie conduit immédiatement à un résultat analogue au précédent. Soit en effet R(a7,, . ..^x^) une fonction rationnelle des intégrales, admettant p = n^ — s transformations infinitésimales linéaires homogènes. Les fonctions R,

'dt* ' ' ^/5-i ' ^* ^'^^ ^^ '^**' disparaître les dérivées d'ordre égal ou

supérieur à n, sont s intégrales du système complet à n^ variables obtenu en égalant à zéro les symboles de ces p transformations, prolongées jusqu'à l'ordre n— 1. Ce sont de plus des intégrales indépendantes, puisque Q ne peut dépendre d'une transformée d'ordre inférieur à s. Donc toute fonction rationnelle des intégrales qui admet les V. 5

3o E. VESSIOT.

p transformations infinitésimales de R, étant intégrale du système complet précédent, s'exprime en fonction des 5 intégrales indépendantes:

R, ^j • • ) -^7rT'> ^' ^s^ ^® P'^s évident que cette expression est algébrique.

Si Ton compare ce résultat à celui du paragraphe précédent, on voit que Texpression sera effectivement algébrique, c'est-à-dire ne pourra pas être rendue rationnelle en tenant compte de l'équation différentielle dont dépend R, toutes les fois que la seconde fonction admettra toutes les transformations infinitésimales du groupe de R sans en admettre toutes les transformations finies, et dans ce cas seulement. Cela ne peut donc arriver que si le groupe de R est un groupe complexe.

4. Soient encore deux fonctions rationnelles des intégrales, R et S, mais nous supposons que la seconde n'admet pas toutes les transformations infinitésimales de la première, et qu'elle en admet par exemple p' = p -7 5', p = n^ — s étant toujours le nombre des transformations infinitésimales distinctes du groupe de R. Prolongeons jusqu'à Tordre n — ï ces p' transformations, et égalons leurs symboles à zéro : nous obtenons ainsi un système complet de n^ — s — ï équations à n^ variables, ayant pour intégrales les 5 -h ^'4- 1 fonctions

"' Vt' '"' -dP^' ^' di' " ' dV

Ces fonctions sont donc liées par une relation, qui ne peut contenir seulement les s premières ; c'est-à-dire que S est liée à R par une équation différentielle algébrique d'ordre y' au plus, à coefficients rationnels en /, R, X^ , . . . , X;j et leurs dérivées. D'autre part, cette équation, dont les coefficients sont des invariants du groupe de R, doit admettre comme intégrales toutes les fonctions déduites de S par les transformations de ce groupe, et comme leur valeur générale dépend, en vertu de l'hypothèse (I, Ch. II, n*" 2), de s' paramètres essentiels, elle ne peut être d'ordre inférieur à s'; elle est donc exactement d'ordre s\

5. Sur les équations transformée^. — Soit R(a?|, . . .,a7„) une fonction rationnelle des intégrales et soit

la transformée, d'ordre s, par exemple, dont elle dépend. L'intégrale générale de cette équation est

Y — RilUi^iXt-, .. ..lUn^iXi) — F {Xiy .. ., J7„|a„ . ..,a,),

les a étant des paramètres nouveaux, essentiels. Soit ¥< une intégrale particulière, supposée fondamentale (II, Ch. II, n®3); cela revient à dire qu'elle n'est pas intégrale d'une équation de la même forme que (3), mais d'ordre inférieur à s : car une telle équation, ayant pour coefficients des invariants, admettrait comme intégrale la valeur générale de V, ce qui est impossible, cette valeur dépendant de s paramètres essentiels.

Il peut alors arriver que la valeur générale V ait le même groupe de transformations infinitésimales que Y, ; cela aura lieu quand le groupe de R sera un sous-groupe invariant du groupe linéaire homogène général. On aura alors, le symbole Â désignant une fonction algébrique,

d' -'\, dl'-'

Je dis que cette formule donne encore l'intégrale générale de (3), si l'on y remplace V^ par une autre intégrale fondamentale de cette équation. En effet, écrivons que la fonction (4) est une intégrale de (3), en faisant disparaître dans le calcul, au moyen de l'équation (3) dont V^ est une intégrale, les dérivées de V, d'ordre égal ou supérieur à 5 ; il vient une relation de la forme

dt'-'

qui ne peut être qu'une identité, puisque V, est une intégrale fondamentale. Or on s'est servi, dans le calcul, uniquement de ce que V| est intégrale de (3); donc, sous cette seule condition, la formule (4) donne pour V, quels que soient les a, une intégrale de l'équation (3). De plus, elle donne l'intégrale générale, si Ton ajoute que V« doit être une intégrale fondamentale ; car s'il n'en était pas ainsi, c'est qu'on pourrait, dans la formule (4)» éliminer les constantes a sans pousser les différentiations jusqu'à Tordre s; or la condition pour que cette élimination soit possible est que V< vérifie une certaine équation

32 K. VESSIOT.

différentielle, que Ton peut réduire à Tordre ^ — i ; et cela ne se peut pas, tant que V< est une intégrale fondamentale.

L'équation (3) jouit donc, dans le cas où nous nous sommes placé, de cette propriété, qui la rapproche des équations abéliennes, que son intégrale générale s'exprime algébriquement en fonction d'une intégrale particulière quelconque, par une formule qui reste la même, quelle que soit cette intégrale, à condition toutefois que cette intégrale particulière soit fondamentale, c'est-à-dire ne soit pas intégrale d'une équation de la même forme que (3), et d'ordre moindre.

La résolvante générale, signalée au début de ce Chapitre, appartient évidemment à cette classe d'équations.

6. Passons maintenant au cas général : V a en commun avec V, Pi <Cp transformations infinitésimales. Soit Va une seconde intégrale particulière fondamentale, n'ayant aussi que p< transformations infinitésimales communes avec V< ; elle est intégrale d'une équation différentielle algébrique d'ordre St = p — p^

où ne figure aucune dérivée de \\ d'ordre égal ou supérieur à 5; et l'on verra comme précédemment : 1° qu'elle n'est intégrale d'aucune équation de même forme et d'ordre moindre ; 2^ que toute intégrale de cette équation est une intégrale de l'équation (3), pourvu que V, en soit elle-même une intégrale.

Il pourra alors arriver que V admette toutes les transformations infinitésimales communes à V, et Va, et l'on aura, dans ce cas, une formule

donnant l'intégrale générale de (3). Je dis que cette formule donne encore l'intégrale générale si Ton y remplace V, et V^ par deux autres intégrales fondamentales, telles que V^ satisfasse à l'équation (5), sans vérifier aucune autre équation de même forme et d'ordre moindre. En effet, en exprimant que la fonction (6) est une intégrale de l'équation (3), on obtient une relation différentielle

dont on peut supposer qu'elle ne contient ni dérivée de V, d'ordre égal ou supérieur à s, ni dérivée de Vj d'ordre égal ou supérieur à s^ ; d'où il résulte qu'elle ne peut contenir ni Vj ni ¥< et est une identité. Or on s'est servi, dans ce calcul, uniquement de ce que V^ est intégrale de (3) et Va intégrale de (5) ; donc, sous ces seules conditions, (6) représente une intégrale de la transformée (3). On verra de plus, comme précédemment, que, sous les conditions énoncées, elle contient s paramètres essentiels et en est, par suite, l'intégrale générale.

En poursuivant le même raisonnement, on arrivera au résultat général suivant :

A l'équation (3) on peut adjoindre un certain nombre d'équations différentielles

d'ordres décroissants ^<, s^, ..., ^a-<> oix ne figure ni dérivée de V< d'ordre supérieur à ^ — i, ni dérivée de Vj d'ordre supérieur k s^ — i, et ainsi de suite ; de telle sorte que, si V< est une intégrale de <& — o ne satisfaisant à aucune équation de même forme et d'ordre moindre. Va une intégrale de $< = o ne satisfaisant à aucune équation de même forme et d'ordre moindre, et ainsi de suite, enfin V^t une intégrale de $^^ = o ne satisfaisant à aucune équation de même forme et d'ordre moindre, l'intégrale générale de l'équation (3) est donnée par une expression de la forme

V~ A(Vi, Vj, . . ., v^. !«!, . . .,«,),

où A est une fonction algébrique de V|, Vg, ..., V^ et de leurs dérivées, jusqu'à l'ordre ^ — i pour V,, s^ — i pour Vo, . . . , Sf,^ — i pour V;t. Et cette formule subsiste, quand on y remplace Vi, Vj, ..., Va par k autres intégrales satisfaisant aux conditions énoncées.

Nous exprimerons ce fait en disant que l'équation (3) possède des systèmes fondamentaux d'intégrales. Nous appelons système fondamental d'intégrales un système de fonctions V,, V^, ..., V^ satisfai-

3] E. VESSIOT.

sant aux conditions précédentes, el nous disons que les systèmes fondamentaux d'intégrales de l'équation (3) sont définis par les équations (7).

Remarquons enfin que la propriété précédente s'étend immédiatement aux équations rencontrées au n^ 4» et qui contiennent les transformées, comme cas particulier.