POMPEIU

Soit E un ensemble fermé à deux dimensions. On sait que tout ensemble fermé est, d'une seule manière, la somme d'un ensemble dénombrable et d'un ensemble parfait. On peut ainsi écrire l'égalité symbolique : .

E=:Eo4-P.

Je me propose de définir un mode de décomposition de Tenserable parfait P.

Remarquons, à ce propos, que l'ensemble dénombrable Eq fournit une solution du problème de Briot et Bouquet. En extrayant de l'ensemble P un ensemble E|, je me propose de montrer que E| fournit aussi une solution du problème de Briot et Bouquet.

J'aurai extrait ainsi de tout ensemble fermé E deux ensembles Eq et E| qui fournissent une solution du problème de Briot et Bouquet.

Je compléterai ce résultat en montrant que l'ensemble Ej défini par l'égalité symbolique

E zn Eq -+- El H- E}

n'est pas une solution du problème qui nous occupe.

30. Soit P un ensemble parfait quelconque. Je prends un point !^ de cet ensemble et je décris, de ce point comme centre, un cercle F, de rayon p. Si, en prenant p assez petit, tous les points de P contenus dans F peuvent être répartis sur une suite dénombrable d'ensembles de longueur finie, je dirai que ^ est un point de première espèce.

Si, au contraire, quelque petit que l'on prenne p, les points de P contenus dans F ne peuvent pas être répartis sur une suite dénombrable d'ensembles de longueur finie, je dirai que le point Ç est de seconde espèce.

D'après cette classification on peut écrire

P=:Ei4-E„

en désignant par E| et E2 respectivement les ensembles de points de première et de seconde espèce.

Si E2= o, je dirai que E| est un ensemble réductible d'ordre un.

Pour expliquer cette dénomination, il faudrait étudier la structure de l'ensemble E|, en généralisant la notion d'ensemble déris>é. C'est cette étude qui m'a amené à la notion d'ensemble réductible d^ ordre un, mais elle est trop étrangère au sujet de ce travail et je me borne aux indications strictement indispensables.

Les ensembles réductibles ordinaires peuvent être appelés ensembles réductibles d'ordre zéro.

SUR LA CONTINUITÉ DES FONCTIONS DE VARIABLES COMPLEXES. aS

31. Je suppose maintenant que E2 n'est pas nul. Supprimons, dans P, les points de première espèce qui forment E| : il reste E2.

E2 est un ensemble parfait, comme on le voit facilement. Je dis que E2 ne peut pas contenir des points de première espèce. En eflel, si dans un cercle F, de centre 2^, les points de E2 contenus dans F pouvaient être répartis sur une suite dénombrable d^ensembles de longueur finie, on n'aurait qu'à rétablir dans F les points supprimés, appartenant à E|,' pour voir que, dans F, les points de P forment une suite dénombrable d'ensembles de longueur finie. Donc ^ ne serait pas un point de E2, ce qui est contradictoire.

Donc l'ensemble E2 ne contient pas de points de première espèce. C'est là la propriété caractéristique de l'ensemble E2. J'appelle E2 un ensemble irréductible,

32. Je résume nos connaissances relatives aux ensembles fermés quelconques.

On sait qu'un ensemble fermé peut se mettre, d'une seule manière, sous la

forme

E = Eo-hP,

Eq étant un ensemble dénombrable et P un ensemble parfait. Mais E^ n'est pas un ensemble dénombrable quelconque. Voici une propriété caractéristique de E^.

Puisque P est fermé, on peut décrire d'un point J^a appartenant à E© un cercle T/^ de rayon p)t < o, déterminé parfaitement par la condition suivante :

Le cercle F;^ ne contient aucun point de P dans son intérieur, mais il contient au moins un point de P sur sa circonférence.

Le cercle Fa étant ainsi défini, on démontre que l'ensemble Eq est réductible dans tout cercle Fj^ concentrique à F^ et de rayon pj^ <Cpa- Ce n'est pas une propriété qui appartienne à tout ensemble dénombrable.

Passant à l'ensemble P, nous l'avons décomposé en deux ensembles :

P = Ei-4-E„

E2 étant un ensemble parfait qui ne contient pas de points de première espèce.

L'ensemble E| jouit d'une propriété analogue à celle qui caractérise Eq. En effet, autour d'un point 2^, appartenant à E|, décrivons un cercle F ne contenant, ni dans son intérieur, ni sur sa circonférence, de points de E2.

Cela est possible puisque E2 est parfait. Dans ces conditions les points de E|, contenus dans F, forment dans ce cercle un ensemble réductible d'ordre un,

33. Si nous avions fait reposer la notion d'ensemble réductible d'ordre un sur la considération des nombres transfinis, il nous serait facile maintenant de montrer que le théorème du n° 27, relatif à un ensemble de longueur finie, s'étend à un ensemble réductible d'ordre un. Mais à défaut de cet appel à la théorie des

26 D. POMPEIU.

nombres Iransfinis on peul, pour démontrer le théorème que nous avons en vue, mettre en évidence une propriété des ensembles réductibles d'ordre un et cette propriété nous permettra de considérer ces ensembles comme des cas particuliers d'une catégorie d'ensembles pour lesquels je donnerai, dans le Chapitre suivant un théorème général.

C'est la même méthode que nous avons suivie au n^ 13, pour les ensembles réductibles d'ordre zéro : nous les avons considérés comme des cas particuliers des ensembles dénombrables quelconques.

Je me propose maintenant de montrer qu'un ensemble réductible d'ordre m/z est un cas particulier des ensembles formés par une suite dénombrable d'ensembles de longueur finie. D'une façon plus générale, dans la formule de tout à l'heure

l'ensemble Ki est formé d\me suite d'ensembles de longueur finie.

En effet, soit ^ un point de E| : on peut décrire autour du point !^, comme centre, un cercle F ne contenant pas de points de E2 dans son intérieur, mais contenant au moins un point de E^ sur sa circonférence.

De cette façon, à chaque point ^ de E2 se trouve attaché un cercle de rayon non nul, ayant ce point pour centre.

Considérons l'ensemble des points de E| pour lesquels le rayon en question est = p; p étant un nombre positif assez petit. L'ensemble de ces points peut être réparti sur une suite dénombrable d'ensembles de longueur finie, sans quoi cet ensemble contiendrait au moins un point de seconde espèce, ce qui est impossible.

Prenons maintenant une suite de nombres positifs

Po> Pi >Pî>' ••>?«>•• • tendant vers zéro.

Les points de l'ensemble E| caractérisés par la condition

peuvent être répartis sur une suite dénombrable d'ensembles de longueur finie. Mais, dans ces conditions, on a tout de suite cette proposition générale :

Les points de E| peuvent être répartis sur une suite dénombrable d'ensemblés de longueur finie.

Car, une suite dénombrable, dont les éléments sont des suites dénombrables, peut être mise sous la forme d^une suite simple dénombrable.

En particulier, un ensemble réductible peut être mis sous la forme d\ine suite dénombrable d'ensembles de longueur finie.

C'est la proposition que j'avais en vue.

34. Pour terminer ce Chapitre, je vais montrer qu^en général un ensemble irréductible E2 ne fournit pas une solution du problème de Briol et Bouquet.

Un ensemble irréductible est un ensemble parfait qui ne contient pas des points de première espèce.

Je prends comme domaine D un rectangle ABCD et je suppose que le côté AB de ce rectangle est placé sur l'axe réel Ox.

Sur le côté AB je définis une fonction de variable réelle f{oc) par le procédé suivant :

Soit

yu yi9 • • •> yny • • •

une suite de nombres réels compris dans V intérieur de l'intervalle (a, b) et formant dans cet intervalle un ensemble dénombrable partout dense.

Cela posé, je prends sur le celé AB un intervalle AiB^ et, dans cet intervalle, je définis la fonction /(x) par la condition d'être constante et égale à y^

Je prends maintenant, dans AB, un deuxième intervalle A2B2 n'ayant pas de point commun avec A| B| , et dont la situation par rapport à A| Bi est la même ( ' ) que celle de ^2 par rapport ày, . Dans A2B2 je définis la fonction y(j;) par la condition d'être constante et égale à ^2*

Pour prendre dans AB un troisième intervalle, j'observe que les deux nombres y^ et y2 ont partagé l'intervalle (a, b) en trois autres intervalles. De même, dans AB, si l'on enlève les segments Ai B^ et A2B2, il reste trois segments qui correspondent aux intervalles de (a, b), La position du nombre y^ dans (a, b) nous indiquera, sans ambiguïté, dans quel segment de AB il faudra prendre A3B3.

Dans A3B3 la fonction f{x) sera constante et égale à y^.

Cette opération peut être continuée indéfiniment, en observant la prescription suivante :

Deux segments quelconques A^B^ et A^B^ n'ont aucun point commun.

J'ajoute maintenant une autre condition. Soit / la longueur de AB et l,i la longueur de A;|B/| : on a

Il s'ensuit immédiatement que tout point pris dans AB appartient à un des segments AnBn ou est point-limite d'une suite de ces segments.

En outre, le procédé que nous avons adopté nous permet d'affirmer que la disposition relative de Ay^B/^ et A^^B/t est la même que la disposition relative de yh et 7*.

(*) Voici ce que j'entends par là : si yi<,yi le segment AjBj devra être pris à gauche du segment AiBi; si^2>^i le segment A|Bs devra être pris à droite du segment AiBi.

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Il est facile de voir comment, par tout ce qui précède, se trouve achevée la définition de la fonction f{x).

Soit M un point quelconque pris dans AB. Si le point M appartient à un des segments A^B,,, la valeur de /(M) sera le nombre y correspondant à ce segment. Si le point M est extérieur à tout segment A^B^, l'ensemble de ces segments peut être partagé, par rapport à M, en deux ensembles : le premier contenant tous les segments situés à gauche du point M et le second contenant tous les segments situés à droite du point M.

Cette répartition des segments A„B„ en deux classes permet de diviser aussi, en vertu de la correspondance établie entre les segments A/iB,/ et les nombres ^«, le système des nombres réels yn en deux ensembles H et K jouissant des propriétés suivantes :

1° Tout nombre de H est moindre que tout nombre de K;

2° On peut toujours prendre dans H et dans K respectivement deux nombres y h

et yk tels que l'on ait

Va — //»<£,

quel que soit le nombre positifs, donné à l'avance.

Les ensembles H et K définissent donc un nombre réel y et ce nombre sera la valeur de la fonction f{x) au point M.

La fonction /(a:) se trouve ainsi définie pour tout point du segment AB. On voit d'ailleurs que/(:r) est continue dans AB et non constante, dans cet intervalle, et cependant constante dans tout segment A^B;,*

Pour avoir une fonction définie dans le rectangle ABCD je fais la convention suivante :

Sur une parallèle MN à BG la fonction f{u) est constante et égale à /(M).

Dans le rectangle ABCD il y a deux sortes de points :

i^ Les points u=^ z tels que dans un cercle de rayon assez petit, ayant le point z comme centre, la fonction f{u) est constante. Pour ces points f{u) admet évidemment une dérivée égale à zéro.

2° Les points m = ^ pour lesquels n'a pas lieu la propriété précédente. Pour ces points la fonction est évidemment continue.

Les points 2^ forment dans le rectangle ABCD un ensemble irréductible et la fonction f{u) n'est pas holomorphe dans ce rectangle.

On peut donc conclure de tout ce qui a été fait jusqu'ici :

Si l'on considère un ensemble fermé quelconque, ce n'est que dans le cas où cet ensemble est réductible que l'on peut être certain qu'il fournit une solution du problème de Briot et Bouquet.