CAS GÉNÉRAL

3o. Je me propose de généraliser le résultat obtenu dans le Chapitre II.

Soity(a) une fonction de variable complexe défînie dans un domaine D. Je suppose que /(u) est monogène dans D sauf peut-être pour certains points ^ formant dans D une suite dénombrable

d'ensembles de longueur finie. Si la fonction /(u) est continue aux points 2^, elle est aussi monogène en ces points.

On a, dans D, deux sortes de points :

1® Les points u = z pour lesquels la fonction /{z) est supposée monogène;

2° Les points u = ^ pour lesquels la fonction /{z) est supposée continue.

Je désignerai, comme d'habitude, par u tout point intérieur à D lorsqu'il n'y aura pas de distinction à faire entre les points de D.

Cela posé, je fais correspondre au point z le plus grand cercle G tel que l'on

\Au)-/(z)-(u-z)/'{z)\<\u-z\e

pour tout point u intérieur à G; e étant un nombre positif donné à l'avance. Au point ^, faisant partie de Tensemble E^, j'attache le cercle F tel que l'on ait

pour tout point u intérieur à F, dont le centre est ^.

De cette façon à tout point u intérieur au domaine D se trouve attaché un cercle de rayon non nul ayant ce point pour centre.

Je fais maintenant sur les ensembles E/t Fhypothèse suivante : la longueur de E/i est, quel que soit /t, au plus égale au nombre L.

Cela étant supposé, décomposons le domaine D en régions partielles par des parallèles aux axes coordonnés. Ces régions seront, par exemple, des carrés, complets ou écornés par la frontière de D.

Traçons dans D un contour fermé C et qui soit complètement intérieur à D. J'appelle R la région délimitée par C.

Je me propose d'évaluer l'intégrale

Xf{u)du,

D. POMPEIU.

En vertu du lemme de M. Goursat on a pu faire la décomposition de D en régions partielles de telle façon que chaque région partielle appartenant à R satisfasse à la condition (a).

L'intégrale précédente est égale à la somme des intégrales prises le long de tous les contours fermés partiels obtenus par la décomposition du domaine R.

Considérons d'abord les carrés complets et soit Q un de ces carrés. Si Q est intérieur à un cercle G on aura

f{u)du

et si Q est intérieur à un cercle F on aura

<4/«v/âe.

/( " ) du

<4rA>

en supposant que le point !^, centre de F, est un point de Fensemble Ea*

Si Ton fait maintenant la somme de toutes les intégrales relatives aux carrés complets, on trouve un nombre dont le module est certainement inférieur à

en tenant compte des remarques faites au n^' 26 et â8 relativement aux ensembles de longueur finie.

Passons aux carrés Q' écornés par le contour G. Pour un carré intérieur à un cercle G on aura

f{u)du

l éiant la partie curviligne de (Q').

Si le carré Q' est intérieur à un cercle F on aura

f{u)du

en supposant que le point t^, centre de F, fait partie de l'ensemble E^.

Faisons la somme des intégrales relatives aux carrés écornés. On trouve, en tenant toujours compte de la remarque du n^26, que cette somme est moindre, en module, que le nombre

4av^2£-+- X/'v/âe -4-4A« 4-Xc,

en désignant par X la longueur du contour G.

SUR LA CONTINUITÉ DES FONCTIONS DE VARIABLES COMPLEXES. 3l

Donc, en défînitive,