LES ENSEMBLES FERMÉS

19. La remarque de Briot et Bouquet a été généralisée par M. Paînlevé. Soity(a) uue fonction de variable complexe, définie dans un domaine D. Je suppose que/(u) est monogène dans D sauf peut-être pour les points d'une certaine ligne rectifiable L. M. Painlevé a montré (Sur les lignes singulières des fonctions analytiques^ p. 27) que si /{u) est continue pour les points ^ de la ligne L, cette fonction est aussi monogène pour ces mêmes points.

20. Si Ton veut donner à ce résultat une extension analogue à celle que nous avons indiquée au n° 13 pour le cas d'un point Ç isolé, on esl naturellement conduit à considérer une ligne rectifiable comme l'élément d'un certain jsnsemble et à raisonner sur ces éléments comme l'on raisonne sur des points pour arriver à la notion d'ensemble réductible.

Cette manière de procéder paraît avoir été adoptée par beaucoup d'auteurs qui ont eu à faire usage de la notion d^ensemble de lignes.

21. Pour pouvoir raisonner avec précision, il faut adopter des définitions convenables.

Soit

(E) Eo, E|, ..., E

ny

une suite d'ensembles fermés, certains de ces ensembles pouvant se réduire à des points isolés. Le système des ensembles En forme un ensemble total que je désigne par E.

Un quelconque des ensembles de la suite (E) sera dit un élément.

Deux éléments Ea et E^ seront dit écartés s'ils n'ont pas tous leurs points en commun. Un exemple simple de deux ensembles écartés nous est donné par deux droites qui se coupent.

La notion d'écart est susceptible d'une définition précise, dans le cas des ensembles bornés.

Soit P>i un point quelconque pris sur Ey^; la distance du point Pa à l'ensemble Ej^ est une fonction continue de la position du point P;^. Cette fonction admet un maximum A^^. Cest ce maximum que j'appellerai Vécart de l'ensemble E^ par rapport à E^. Le nombre A>i;t ne peut être nul que si tous les points de E^font partie de E^.

l8 D. POMPEIU.

Prenons maintenant un point Pa dans l'ensemble E^; la distance du point P^ à l'ensemble E^ est une fonction continue de la position du point Pa : elle admet un maximum A^a et ce nombre ne peut être nul que si tous les points de Ea font partie de Ea. Aaa est l'écart de Tensemble Ea par rapport à Ea*

La somme

peut être appelée écart mutuel des ensembles Ea et Ea.

Si Técart mutuel des deux ensembles est nul, ces deux ensembles coïncident et réciproquement. Si Aaa= o, Ea fait partie de Ea; si Aaa = o, Ea fait partie de Ea.

22. La notion d'écart étant acquise, revenons à la suite (E).

Je dirai que l'ensemble E^^ est la limite de la suite (E), si l'écart mutuel

(du "^ **/iw

tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment. J'appellerai élément-limite y tout ensemble qui est la limite d'une suite d'ensembles. L'ensemble des éléments^ limites forme un ensemble E'que l'on peut appeler le dérivé de E. En raisonnant sur E' comme nous venons de le faire sur E, on définira l'ensemble E" dérivé de E', et ainsi de suite.

Si l'ensemble E contient son dérivé, on dira que E est fermé.

Si un élément Ea appartient à E sans appartenir à E', on dira que Ea est un élément discret dans E.

Un élément discret n'est pas nécessairement isolé. Un élément Ea est isolé dans E lorsqu'il n'a pas de points communs avec aucun des ensembles qui composent E.

23. Supposons maintenant que tous les E^ soient des lignes rectifiables. L'ensemble E est dénombrable; si, en outre, il est fermé, nous dirons que E est réductible.

Moyennant les définitions qui précèdent, les mêmes raisonnements qui permettent de passer du cas d'un point ^ au cas d'un ensemble ponctuel réductible, permettront ici de passer du cas d'une seule ligne rectifiable au cas d'une suite de lignes rectifiables formant un ensemble réductible.

24. J'ai tenu à exposer ce procédé de démonstration parce que c'est celui qui se présente naturellement à l'esprit lorsque l'on considère des ensembles de lignes et que l'on veut établir entre ces ensembles et les ensembles de points les plus grandes analogies.

Mais on ne peut pas tarder à s'apercevoir des inconvénients que présente cette façon de concevoir les choses.

D^abord, on raisonne sur des lignes et non sur des points : la notion de ligne est une notion complexe et un peu confuse. L'analogie avec les ensembles de points ne peut se maintenir, même pour les notions les plus simples. Il suffit d'observer, par exemple, que, dans un ensemble de points, un point-limite est un élément que (sauf la propriété qui le caractérise) rien ne distingue des autres éléments de l'ensemble : un point-limite est toujours un point, tandis que dans une suite de lignes une ligne-limite peut se réduire à un point ou être une ligne discontinue alors que toutes les lignes de la suite, qui l'admettent comme limite, sont continues. Dans le cas particulier d'une suite de lignes rectifiables, la ligne-limite n^esi pas nécessairement une ligne rectifiable.

Ceci constitue un grave inconvénient parce que la démonstration que l'on a pu faire pour chaque ligne de la suite peut ne plus s'appliquer pour la ligne-limite. Rien de pareil ne s'était présenté avec les ensembles de points*

En outre, nous avons pris comme éléments de l'ensemble E des lignes E,{ et, il semble au premier abord que nous avons établi ainsi entre l'ensemble Eet son élément E;2 Ist même distinction ou, pour mieux dire, une distinction analogue à celle qui existe entre un ensemble de points et son élément : le point.

Or, dans le cas d'un ensemble de lignes, la distinction dont il s'agit est le plus souvent artificielle. Car, un ensemble de lignes continues non isolées esllui-mème une ligne continue. L'inconvénient auquel donne lieu cette circonstance résulte de la remarque suivante :

Dans le cas d'un ensemble de points (réductible) toute la démonstration repose sur le résultat obtenu avec un point isolé. La démonstration du cas général se ramène, se réduit à la démonstration du cas simple d'un seul point : c'est en quoi réside l'avantage de la méthode.

Dans le cas d'un ensemble de lignes, l'ensemble E étant de même nature que ses éléments, il n'y aura, dans certains cas, aucun avantage à faire la démonstration sur un élément plutôt que sur l'ensemble E lui-même.

25. Je vais maintenant reprendre, à un autre point de vue, la question qui nous intéresse et pour cela je commencerai par préciser certaines notions relatives à la mesure de Vétendue des ensembles à deux dimensions.

Soit E un ensemble fermé à deux dimensions. Autour de chaque point J^, de l'ensemble E, pris comme centre, décrivons un cercle de rayon p : l'ensemble des points intérieurs à ces cercles forme un ou plusieurs domaines dont je désigne Vaire totale para(p). Lorsque p tend vers zéro, a(p) tend vers un nombre positif ou nul a, que j'appelle aire de l'ensemble E.

20 D. POMPEIU.

Supposons que l'aire de E soit nulle et formons le rapport

II peut arriver que, lorsque p tend vers zéro, le rapport précédent reste inférieur à un nombre convenable. Dans ce cas, désignons par X la limite supérieure d'indétermination pour p = o, du rapport précédent. Je dirai que Tensemble E a une longueur finie et que cette longueur est égale à X.

26. Considérons maintenant un ensemble de longueur finie. Je divise le plan en carrés de côté r par des parallèles aux axes coordonnés. Parmi les carrés ainsi obtenus je retiens seulement ceux qui possèdent, dans leur intérieur ou seulement sur leur périmètre, des points de l'ensemble. Soit n le nombre de ces carrés.

Je dis que le produit nr reste inférieur à un nombre fixe lorsque r tend vers zéro. Il est évident que n est une fonction de /* et, lorsque r tend vers zéro, en général, n augmente; il s'agit de démontrer que, pour un ensemble de longueur finie, le produit nr est borné quelque petit que soit r.

Pour cela j'observe que l'aire des carrés dont nous nous occupons est nr^. Cela

étant, posons

et considérons le rapport

dont la limite sert à définir la longueur de E. Si r est assez petit, on a

a{p) < 2Xp ■+■ 2ep,

e étant un nombre positif très petit.

Mais, puisque

on voit que

donc

ou

nr^<a{p);

nr*<, aXr^/a -H e.2r^2 nr <, aXy/a -+- asy/â

ou encore

nr <,\y

À étant un nombre supérieur à sXy/â.

27. Soit maintenant /(a) une fonction de variable complexe, définie dans un domaine D. Je suppose que f{u) est monogène dans D, sauf peut-être pour certains points 2^ formant un ensemble de longueur finie. Je me propose de montrer que si f{u) est continue aux points 2^ elle est aussi monogène en ces points.

Je désignerai par z les points pour lesquels on sait que la fonction est monogène et je continuerai à désigner par u un point quelconque, intérieur à D, lorsqu'il n'y aura pas lieu à distinguer si ce point est un z ou un ^.

Faisons correspondre à un point de monogénéité z le plus grand cercle G, ayant ce point pour centre, et tel que Ton ait

\Au)-f{z)-{u-z)f'(z)\l\u-z\s

pour tout point u intérieur à G, e étant un nombre positif donné à l'avance.

A un point 2^ faisons correspondre le plus grand cercle F, ayant 2^ pour centre, et tel que Ton ait

pour tout point intérieur à F.

Cela posé, traçons à l'intérieur de D un contour fermé quelconque G. Le domaine D est supposé, comme toujours, simplement connexe.

Je décompose le plan en carrés par des parallèles aux axes coordonnés. D'après le lemme de M. Goursat, on peut faire cette décomposition de façon que la région R limitée par G se trouve partagée en un nombre fini de portions satisfaisant à la condition (a).

Dans l'énoncé de cette condition, les cercles G ou F jouent évideminent le même rôle.

La région R se trouve donc partagée en un nombre fini de carrés dont un certain nombre sont écornés par le contour G.

Ges carrés, complets ou écornés, peuvent être répartis en trois catégories :

1° Geux qui ne contiennent pas de points 2^;

2° Geux qui ne contiennent des points 2^ que sur leur périmètre;

3° Geux qui contiennent des points 2^ dans leur intérieur. Ges carrés peuvent d'ailleurs contenir ou non, sur leur périmètre, des points 2^.

Je vais évaluer l'intégrale

prise le long du contour fermé G.

U est clair que cette intégrale est égale à la somme des intégrales prises le long de chacun des contours fermés partiels obtenus par le partage de la région R.

L'intégrale prise le long du périmètre d'un carré de première catégorie est nulle, en vertu du théorème fondamental de Gauchy. 11 en est de même de Fin-

D. POHPEIU.

tégrale prise le long du périmètre d'un carré de deuxième catégorie. M. Goarsat a montré, en effet, dans son Cours d^ Analyse, que le théorème fondamental de Cauchy subsiste pourvu que la fonction f{u) soit holomorphe dans une région et continue sur sa frontière.

Il reste les carrés de troisième espèce.

Prenons d'abord un carré complet Q;^. Si ce carré est intérieur à un cercle G, on aura

f{u)du

Si le carré est intérieur à un cercle F, on aura

I f n^)du

puisque l'on peut écrire

f /{U)du=: f [Au)-/{K)]du,

le point Ç étant le centre du cercle F auquel Q^^ est complètement intérieur.

La somme des intégrales prises le long des périmètres de tous les carrés complets de troisième espèce est un nombre dont le module est certainement infé> rieur à

en désignant par a l'aire de la région R et par n le nombre des carrés de troisième espèce.

Passons aux carrés écornés.

Soit Qa un de ces carrés. S'il est intérieur à un cercle G, on aura

f(u)du

<(4r4-/ifc)rv/ae.

S'il est intérieur à un cercle F, on aura

f f{u)du

En faisant la somme de toutes les intégrales relatives aux carrés écornés, on trouve que le module de cette somme est certainement inférieur à

/ désignant la longueur du conloiir C.

Désignons maintenant par L le nombre auquel reste inférieur le produit nr. On trouve que la somme de toutes les intégrales relatives aux carrés complets ou incomplets est inférieure, en module, au nombre

Say/âs 4r 8Lfi -\- Ir^e 4- le.

Puisque le nombre e est arbitraire, on conclut

/ f(u)du=zo.

La fonction y( u) étant continue dans D et le contour C étant un contour fermé quelconque, il est démontré que f(u) est holomorphe dans D. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Soit /(u) une fonction de variable complexe définie dans un domaine D simplement connexe. On suppose que cette fonction est monogène dans D, sauf peut-être pour certains points !J Jormant, dans D, un ensemble de longueur finie» Si la fonction f{u) est continue aux points Ç, elle est aussi monogène en ces points et, par suite , est holomorphe dans D,

28. Pour démontrer cette proposition, nous avons supposé que la décomposition du domaine D, d'après le lemme de M. Goursat, a été faite de façon que tous les carrés soient égaux.

Cette supposition est compatible avec nos hypothèses actuelles sur les cercles G

et r.

En effet, la fonction f{u) étant continue dans le domaine D, est uniformément continue dans une région R complètement intérieure à D.

Le nombre e étant donné, les rayons p des cercles F admettent dans R une limite inférieure non nulle. Dans ces conditions, on peut trouver une décomposition en carrés de côté r telle que tout carré contenant un point !^, au moins, satisfasse à la condition (a).

En effet, il suffit de prendre

en désignant par po la limite inférieure des rayons p.

Plus loin j'aurai l'occasion de revenir sur cette remarque et de la présenter sous une forme plus générale.

29. Je vais chercher maintenant à généraliser le résultat du n° 27 en lui donnant tonte l'extension possible. Pour faire cette extension, j'aurai besoin d'un théorème sur les ensembles fermés que je vais d'abord établir