IX
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1 8« y/a e -h 8 Ae 4- X/- y/â e -h le,
en faisant la somme de toutes les intégrales relatives à tous les carrés complets ou incomplets.
Comme le nombre e est arbitraire, on conclut que l'intégrale
/{u)ciu est nulle.
Le contour C étant un contour quelconque intérieur à D, il est démontré que
la fonction /(u) est holomorphe dans le domaine D.
36. L'hypothèse relative à la longueinr des ensembles E„ n^est pas essentielle. Supposons, en effet, que les longueurs respectives
aillent en croissant indéfiniment : pour rentrer dans le cas de la démonstration précédente, il suffit de partager chaque ensemble E^ en un nombre fini d'ensembles tels que la longueur de chacun soit au plus égale à L.
Cela est évidemment possible.
En rangeant maintenant ces ensembles partiels en une suite simplement infinie, on se trouvera exactement dans le cas du numéro précédent.
Nous nous sommes donc affranchis de la condition relative aux nombres L/,.
37. Voici maintenant une application des résultats que nous venons d'obtenir. Soit /(u) une fonction de variable complexe définie dans un domaine D. Les
points de ce domaine sont de deux sortes :
1® Points z^x-i-iy ayant les deux coordonnées irrationnelles : pour ces points on sait que la fonction /(u) admet une dérivée;
2" Points Ç = Ç -H ^ Y|, dont une coordonnée au moins est rationnelle : pour ces points on sait seulement que /{u) est continue.
Le théorème précédent nous permet d'affirmer que/(tt) admet une dérivée pour tout point 2^.
Une autre application est relative au cas de l'ensemble réductible Ë|, défini dans le Chapitre précédent.
L'ensemble E| étant formé d'une suite dénombrable d'ensembles de longueur finie, le théorème actuel lui est applicable.
On voit bien que l'ensemble E( est un cas particulier des ensembles que nous
32 D. POMPEIU.
considérons dans ce Chapitre. En effet, E| étant fermé, il existe nécessairement des régions du plan ne contenant aucun point de E|, tandis que l'ensemble formé par une suite dénombrable quelconque d'ensembles de longueur finie peut être partout dense. C'est le cas de l'ensemble des points JJ, dans l'exemple de tout à l'heure.
38. Pour terminer ce Chapitre, je vais résumer, dans un énoncé général, les résultats obtenus sur le problème dont nous nous sommes occupés.
Soit /(w) une fonction de variable complexe définie dans un domaine D.
Les points u intérieurs à D sont de deux espèces :
1° Points iiz=zz^ pour lesquels la fonction est supposée homogène;
2** Points II = Ç, pour lesquels la fonction est supposée continue.
Si les points Ç forment dans D une suite dénombrable d'ensembles de longueur finie, la fonction f{u) admet une dérivée en tout point 2^.
