ENSEMBLES D*AIRE NULLE

39. On peut, moyennant quelques définitions, démontrer relativement aux ensembles d'aire nulle un théorème qui se rapporte encore à la continuité des fonctions de variable complexe.

Soit y(«) une fonction de variable complexe et supposons que/'(w) est continue au point u^. Je dirai que la continuité de f{u) est régulière au point ii^ si l'on peut trouver un nombre positif M tel que Ton ait

pour tout point u intérieur à un cercle décrit du point u^ comme centre avec un rayon suffisamment petit.

Il est clair que la condition précédente n'impose pas à la fonction /(i^) la nécessité d'être monogène au point u^. Mais, si f{u) est monogène au point u^^ sa continuité est évidemment régulière en ce point.

Si la fonction f{u) est régulièrement continue en tout point u d'un certain domaine D et si l'on peut prendre le même nombre M pour tous les points i/, je dirai que la continuité de f{u) dans D est uniformément régulière.

Grâce à ces définitions, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Soît/(u) une fonction de variable complexe définie dans un domaine simplement connexe D. Je suppose :

1® Que la fonction /(i^) est monogène pour tout point intérieur à D, sauf peutêtre pour certains points ^ formant dans D un ensemble Araire nulle;

2** Que f{u) est continue aux points Ç.

Si la continuité de/(£^) est uniformément régulière dans le domaine D, cette fonction est holomorphe dans D.

40. Traçons, dans D, un contour fermé C n'ayant pas de point commun avec la frontière de D.

A un point de monogénéité ^, situé dans l'intérieur de G ou sur C, je fais correspondre un cercle G tel que Ton ait

\nu)~f{z)-{u-z)f'{u)\<\u-z\e

pour tout point u intérieur au cercle G, ayant le point z pour centre.

A un point 2^ je fais correspondre un cercle F, de centre ^ et de rayon très petit p.

Décomposons maintenant la région délimitée par G en carrés par des parallèles aux axes coordonnés. On peut effectuer cette décomposition de façon que tout , carré satisfasse à la condition (a).

L'intégrale

Cf{u)du

est égale à la somme des intégrales 1 /{u)du prises le long des contours fermés

qui limitent les régions partielles.

Pour un carré complet intérieur à un cercle G, on a

)du

Pour un carré complet intérieur à un cercle F, on aura

I ff{u)du <4/-*Mv/ï.

Pour les carrés écornés on aura

\jf(u)du <(4r4-/)rv/âe P.

34 D. POMPEIU.

s'il s'agît d'un carré intérieur à un cercle G, et

\ff"-

)du

<(4''-H/)Mrv/2

s^il s'agit d'un carré intérieur à un cercle F.

En faisant la somme de toutes les intégrales relatives à tous les carrés, complets ou incomplets, on trouve

du

<%0L\J'it -hXrv^2e-h8M<k)\/2 + MX/Va,

la lettre o) désigne la somme des aires des carrés qui contiennent des points ^; les

autres lettres ont la même signification que dans les démonstrations précédentes.

Or, l'ensemble des points ^ ayant une aire nulle, le nombre (o tend vers zéro

avec r, ce qui montre que

/(w)^tt = o.

Le contour C étant quelconque, on conclut que la fonction f{u)^ supposée continue dans D, est holomorphe dans ce domaine. C'est ce qu'on voulait démontrer.

41. 11 est facile de s'assurer que la condition relative à l'aire de l'ensemble des points 2^ est essentielle. Si cette aire n'est pas nulle la proposition n'est plus vraie.

On peut, en effet, construire une fonction synectique g{u) ayant les propriétés suivantes :

1^ g{u) est monogène dans le domaine D, où elle est définie, sauf pour certains points t^ formant, dans D, un ensemble parfait d'aire non nulle;

a^ g{u) est continue aux points ^;

3^ La continuité de g{u) est uniformément régulière dans le domaine D;

4^ g{u) n'est pas holomorphe dans D.

Pour définir g{u) il me suffira de connaître cette fonction pour les valeurs réelles de la variable, en supposant que le domaine D est un rectangle placé sur Taxe réel Ox.

Je rappelle le procédé employé pour définir un ensemble parfait non dense P.

Ayant pris un intervalle (a, b) on retranche successivement de cet intervalle les points intérieurs à une suite dénombrable d'intervalles :

pris dans (a, b) et assujettis aux conditions suivantes :

1^ Deux quelconques de ces intervalles n'ont aucun point commun;

2*^ La longueur Xn <lu plus grand segment conservé, après avoir retranché les intervalles («i, 6|), (aj, ^2)» • • •? (^ny bn)i tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment.

L'ensemble P comprend des points de deux espèces distinctes : en premier lieu les points an et bn qui sont les extrémités des intervalles (a/,, bn) et qui forment un ensemble dénombrable; en second lieu, l'ensemble non dénombrable des points Ç tels que chacun d'eux est extérieur à tout intervalle {a,i, b,i).

Posons

sz=i^\a^-^bnl /=:|a-6|.

On a évidemment

Si 5 <[ /, je poserai

X est, par définition, la longueur de l'ensemble P.

Ces notions étant rappelées, considérons un ensemble parfait non dense de longueur X et soient aei b les points extrêmes de cet ensemble.

Pour définir la fonction g{x) dans l'intervalle (a, b) il me sera commode de la définir d'abord pour les points de l'ensemble P.

 cet eflet je définis, dans un intervalle (o, X) une fonction y{t) assujettie seulement aux conditions suivantes !

1^ Y(/) est continue dans l'intervalle (o, a);

2** Le rapport

est inférieur, en module, à un nombre M quels que soient les points tt et ^2 pi*is dans l'intervalle (o, X).

En d'autres termes la fonction y(l) est une fonction continue à nombres dérivés bornés.

Cela posé, soit i un point quelconque de l'ensemble P : il est compris entre a et b. L'ensemble parfait formé par tous les points de P qui se trouvent entre a et Ç a une longueur t qu'il est facile de calculer : ou n'a qu'à retrancher de la longueur \a — ^1 la somme des longueurs de tous les intervalles (^a, 6a) qui se trouvent situés dans l'intervalle (a, Ç).

On a évidemment

A cette valeur de t correspond une valeur de la fonction y(^t) définie dans l'in*

36 D. POHPEIU.

lervalle (o, X), soît y(^) =y\' Je pose, comme définition,

De cette façon la fonction g se irouve définie pour tout point de l^ensemble P. Pour définir g aux autres points de Tintervalle (a, b) j'observe que

Alors, dans chaque intervalle contigu à P, j'attribue à la fonction g{x) la valeur qu'elle a aux extrémités de cet intervalle.

La fonction g{x) se trouve maintenant définie pour tout point de l'intervalle (a, b). On voit facilement d'ailleurs que g{x) possède, dans (a, 6), les mêmes propriétés que la fonction ^{t) dans l'intervalle (o, \). En outre g{x) est constante dans tout intervalle (a//, bn) mais non constante dans (a, b).

Pour avoir une fonction défijiie dans le rectangle ABCD je fais la convention suivante :

Sur une parallèle MN au côté BC la fonction g{u) est constante et égale à ^(M).

On voit, sans aucune difficulté, que la fonction g{u) ainsi définie satisfait aux quatre conditions que nous lui avons imposées.