LES SINGULARITÉS DES FONCTIONS ANALYTIQUES UNIFORMES

1. Soit h(z) une fonction analytique uniforme. J'appelle D son domaine naturel d'existence et F la frontière de ce domaine. Je désignerai par z les points intérieurs au domaine D ; par !^ les points de la frontière F et par Z les points extérieurs au domaine D.

Cela posé, je vais distinguer deux espèces de points-frontières. Prenons, en eflet, un point ^ et décrivons, autour de ce point comme centre, un cercle F de rayon p. .

Deux cas peuvent se présenter :

i® Si petit que soit le rayon p, on trouve dans F des points Z;

2° On peut prendre p assez petit pour que dans le cercle F il n'y ait aucun point Z.

La frontière F est un ensemble /erm^. On peut facilement voir que les pointsfrontières de première espèce forment un ensemble par/ait.

Dans ce qui suit j'ai surtout en vue les points-frontières de seconde espèce. Pour éviter toute confusion je réserverai le nom de points-frontières aux points Ç de première espèce et j'appellerai points singuliers les points Ç de seconde espèce.

D'après cette classification une fonction analytique uniforme qui n'admet pas d^ espace lacunaire n'a que des points singuliers. Au contraire, une fonction à espace lacunaire peut être dépourvue de points singuliers.

Tel est le cas de la transcendante de M. Fredholm :