LES ENSEMBLES DE LONGUEUR NULLE
3. Ce théorème général peut être précisé encore dans le cas particulier où Tensemble S est de longueur nulle.
Je vais montrer, en eflet, que dans ce cas les points 2^ jouissent de la propriété ciractéristique des points singuliers essentiels : dans le voisinage d'un point ^ la fonction h(z) s'approche autant qu'on veut de toute valeur donnée.
Soit ^ un point quelconque de S. Autour de 2^, pris comme centre, je décris un cercle F complèleraent intérieur à D.
Dans le cercle F les points de S forment un ensemble /îîr/ne. Or, tout ensemble fermé est composé d'un ensemble dénombrable (cf. n° 32, P* Partie) et d'un ensemble parfait.
Je fais abstraction des points de l'ensemble dénombrable, puisque ces points sont des pôles, des points singuliers essentiels ou limites de tels points et la théorie de ces singularités est connue. On peut encore raisonner de la façon suivante :
Si dans le cercle F, l'ensemble S n'est pas parfait, on peut construire, en s'appuyant sur un théorème de M. Mittag-LefOer, une fonction analytique /c(z) équivalente (*) à h(z) en tous les points de l'ensemble dénombrable dont il a été question. La différence A (^) — ^(^s) est donc une fonction holomorphe dans F ou admettant, dans ce cercle, un ensemble parfait de points singuliers.
Je peux donc supposer que les points ^ forment dans F un ensemble parfait. J'ai déjà supposé que cet ensemble est de longueur nulle.
4t. Comme type d'ensemble parfait et de longueur nulle je donnerai celui-ci : On divise l'intervalle (o, i) en cinq parties égales par les points r? -> ^ et ^ et
l'on exclut les points intérieurs au segment [ -r> t)* On divise de même chacun
(*) On dit que deux fonctions analytiques sont équivalentes en un point lorsque leur différence est régulière en ce point.
SUR LA CONTINUITÉ DES FONCTIONS DE VARIABLES COMPLEXES. 3g
des segments [ o, r) ^M 4' i ) en cinq parties égales et l'on exclut dans chacun
d'eux les points intérieurs au segment médian formé de trois divisions. II reste quatre segments non exclus : on opère sur chacun d'eux, comme on a opéré sur le segment (o, i) et ainsi indéfiniment.
L'ensemble P des points qui ne sont jamais exclus est parfait et de longueur nulle.
Pour avoir une définition analytique de l'ensemble P, représentons les abscisses
des points de l'intervalle (o, i) dans le système de numération de base 5. Dans ce
système un nombre /, compris entre o et i, est représenté par une série de la
forme suivante :
«1 rtj a^
chacun des entiers a étant égal à o, i, 2, 3 ou 4-
Il est facile de voir qu'un point quelconque Ç de l'ensemble P est donné par la formule
le nombre des fractions étant fini ou infini et chaque quantité a pouvant prendre l'une des valeurs o ou 4*
Pour avoir un ensemble parfait de longueur nulle, à deux dimensions, je pose
les nombres ^ pouvant prendre la valeur o ou 4*
Les points !^== Ç 4- it^ forment, dans le carré de côté un construit dans l'angle des parties positives des axes coordonnés, un ensemble parfait de longueur nulle.
5. Reprenons maintenant le cercle F décrit autour de l'un quelconque des points ^ : j'ai supposé que F était complètement intérieur au domaine D. Dans l'exemple que je viens de donner on peut prendre comme domaine D le carré dont il a été question.
Soit H un nombre complexe quelconque. Il s'agit de démontrer que, dans le voisinage d'un point Ç, la fonction h(z) approche autant que l'on veut de la valeur H. D'une façon précise : Étant donné un nombre t aussi petit qu'on voudra, il existe toujours dans le cercleT, quelque soit le rayon p, des points js
pour lesquels
IA(5)-H|<e.
4o D. POMPEIU.
En effet, si cela n'était pas, la fonction
resterait, en module, inférieure à un certain nombre M dès que le ra^on p aura été pris suffisamment petit.
Mais je vais démontrer que, dans ces conditions, la fonction hi{z) est holomorphe dans le cercle F.
En effet, la fonction A|(z) est monogène pour tout point du cercle F sauf peut-être pour les points !^.
Cela étant, je divise le plan en carrés de côté r par des parallèles aux axes coordonnées. Le cercle F se trouve alors partagé (si r est suffisamment petit) en un nombre fini de carrés, dont un certain nombre sont écornés par la circonférence (F).
Ces carrés, tant complets qu'écornés, peuvent être répartis en trois catégories :
i^ Ceux qui ne contiennent pas des points Ç;
2^ Ceux qui ne contiennent des points Ç que sur leur périmètre;
3® Ceux qui contiennent des points ^ dans leur intérieur. Ces carrés peuvent d'ailleurs contenir ou non, sur leur périmètre, des points Ç.
Cela posé, l'intégrale
prise le long de la circonférence (F), est égale à la somme des intégrales prises le long de chacun des contours fermés partiels obtenus parla division du cercle F. LMntégrale
hi{z) dz,
prise le long du périmètre d'un carré de première espèce, est nulle en vertu du théorème fondamental de Cauchy.
Prenons alors un carré de deuxième ou de troisième catégorie et supposons que c'est un carré complet. On aura
lii{z) dz
rintégrale étant prise le long du périmètre du carré. Pour un carré incomplet, on aura
/AiC-ï)
dz
SUR LA CONTINUITÉ DES FONCTIONS DE VARIABLES COMPLEXES. ^l
en désignant par 4 la longueur de l'arc de (F) intercepté par le carré d'indice A".
En définitive, on trouve
n étant le nombre des carrés, tant complets qu'incomplets, et m le nombre des carrés incomplets de deuxième ou de troisième espèce.
Or, l'ensemble S étant de longueur nulle, le produit nr tend vers zéro avec r. Il en est de même de la somme
puisque, s'il y a des points ÎJ sur la circonférence (F), leur ensemble est de longueur nulle.
Donc
Jh^{z)dz z=o.
Remarquons, d'ailleurs, que le raisonnement fait pour la circonférence (F) s'applique à tout contour fermé intérieur à F. On peut donc affirmer que l'inté* grale
j h^{z)dz,
prise le long d'un contour fermé quelconque, intérieur à F, est nulle.
C'est là une des conditions exigées pour que hi(z) soit holomorphe dans le cercle F.
L'autre condition c'est la continuité.
6. Ici se place une remarque relative aux. fonctions synectiques telles que nous les avons définies au n° 3 de la première Partie.
Weierstrass, en donnant la définition des fonctions analytiques, a remarqué, en même temps, que la notion de fonction analytique n'est pas équivalente à la notion de fonction synectique (*).
Cette différence se manifeste aussi par la nature des singularités que peuvent présenter ces fonctions.
Soity(^) une fonction synectique discontinue en un point Ç : je dirai que cette
(*) Monatsberichte, August i88o (728' s.).
42 D. POMPEIU.
singularité est artificielle si l'on peut rétablir la continuité de f{z) en changeant la valeur de cette fonction au point 2^.
Une fonction analytique ne peut pas avoir des singularités artificielles. CVst une conséquence de la définition de Weierstrass.
Au contraire, une fonction synectique définie par une certaine expression analytique peut posséder des singularités artificielles. M. Painlevé en a donné un exemple, au début de sa Thèse Sur les lignes singulières des fonctions analytiques, et M. Goursat, dans son Cours d^ Analyse, a de nouveau insisté sur cette particularité des fonctions synectiques.
7. Revenant à la fonction A| [z) je dis que si A| {z) est discontinue aux points ^ de l'ensemble S, on peut rétablir la continuité en attribuant à A4 (s), en chacun des points 2^, une valeur convenable.
La fonction h^(^z) étant alors continue dans F et Tint^grale
fh,{z)
dz
étant nulle pour tout contour fermé intérieur à F, nous serons certains, d'après un théorème de la première Partie, que h^ (z) est holomorphe dans F.
Je vais me servir encore des notations employées dans le cours de ce travail.
Par la lettre Ç je désigne les points singuliers.
Je réserve la lettre z pour désigner les points pour lesquels h(^z) est monogène*
Enfin je désignerai par u un point intérieur à F, lorsqu'il n'y aura lieu à distinguer si ce point est un z ou un 2^.
Cela posé, considérons l'intégrale
Le raisonnement déjà fait pour l'intégrale i h^{u) du montre que V
(y) étant un cercle très petit décrit autour du point z. En effet, entre les deux circonférences (F) et (y), la fonction
hdu) u — z
présente les mêmes caractères que h| (i/).
Mais on peut prendre (y) assez petit pour que dans ce cercle il n'y ait aucun
on a
point ^. La fonction A| (u) étant alors holomorphe, dans y? on a
Donc, en même temps,
Cette égalité étant établie, je pose maintenant, comme définition,
Nous avons ainsi rétabli la continuité de hi{u\ mais^ en même temps, l'on voit que A| {u) est monogène pour tout point 2^.
Donc hi{u) est monogène dans F.
C^est le résultat fondamental pour notre démonstration. En effet, la fonction h^{u) étant holomorphe dans F, son inverse
ne peut être que méromorphe dans le cercle F, ce qui est contraire à l'hypothèse. Il est donc démontré que, si les points singuliers d^une fonction analytique uniforme forment un ensemble parfait de longueur nulle, tout poinl !^ de cet ensemble jouit de la propriété caractéristique des points singuliers essentiels : dans le voisinage de 2^, la fonction approche autant que Ton veut de toute valeur donnée.
8. Nous pouvons donner maintenant un théorème général sur les points singuliers qui forment un ensemble de longueur nulle.
Dans le cas général un ensemble fermé de longueur nulle est formé d'un ensemble dénombrable et d'un ensemble parfait.
Nous venons de voir que, dans le voisinage de tout point de l'ensemble parfait, la fonction approche autant qu'on veut de toute valeur donnée. Les points de l'ensemble dénombrable sont des pôles, des points singuliers essentiels ou limites de tels points.
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Une fonction analytique uniforme, dont les points singuliers X^ forment un ensemble de longueur nulle, ne peut pas être bornée dans le voisinage d^ aucun point J^. En d'autres termes, on ne peut pas avoir
>i(^)|<M, quel que soit z, M étant un nombre fixe.
44 D. POMPEIU.
Nous savions par les ihéorèmes démontrés dans la première Partie que la fonction h(z) ne peut pas être continue sur Tensemble S. Nous voyons maintenant que h{z) est non seulement discontinue mais même infinie dans le voisinage de S.
