ENSEMBLES DE LONGUEUR FINIE

9. On sait qu'une fonction analytique uniforme admettant comme singularité une coupure (par exemple un segment de droite) peut être bornée dans le voisinage de cette coupure, que j'appellerai K. D'une façon précise : si Ton délimite autour de K une région R ne contenant d'autres points singuliers que ceux de K, on peut avoir, quel que soit le point z dans R,

M étant un nombre positif fixe.

Je ne m'arrêterai pas à donner des exemples de cette nature. Ils sont trop connus. Mais, si les points singuliers Ç, au lieu de remplir toute une ligne, forment un ensemble non dense, il me semble intéressant de montrer, par un exemple, que, même dans ce cas, la fonction h(z) peut être bornée dans le voisinage des points 2^.

10. Je prends donc, pour me placer dans des conditions simples, un ensemble P à une dimension et je suppose P parfait et non dense. Il est bien entendu que la longueur de P est finie et non nulle.

L'ensemble de P comprend des points de deux espèces distinctes :

i^. Les points a^, ^i ; a^, ^a*, ..., qui sont les extrémités des intervalles contigus à P; ces points forment un ensemble dénombrable.

2° Les points Ç, qui sont extérieurs à tout intervalle contigu; ces points forment un ensemble non dénombrable.

Je désigne par a et ^ les points extrêmes de l'ensemble P et par \ la longueur de cet ensemble.

Pour construire une fonction analytique ayant la propriété annoncée, j'ai besoin d'une certaine fonction de variable réelle définie dans l'intervalle (a, P).

On sait qu'il existe des fonctions dérivées bornées et s'annulant dans tout in-

tcrvalle : je les appellerdii fonctions de M, Kôpcke, car c'est M. Kôpcke qui, le premier, a construit de pareilles fonctions.

Je considère une fonction de M. Kôpcke, ayant les propriétés suivantes :

i** Elle est nulle pour tout point a,, ou ^n et dans tout intervalle contigu à P;

2^ Elle est nulle aussi pour les points extrêmes a et ^.

Soit^(^) celte fonction. Formons l'intégrale