rf^dt

ITzf t — Z

Je dis que la fonction h{z) définie par cette intégrale est bornée dans tout le plan.

Il est bien entendu que, pour former l'intégrale précédente, je me suis servi de la définition de M. Lebesgue. On peut, il est vrai, considérer (d'après un théorème de M. Baire) la fonction g[t) comme la limite d'une suite des fonctions continues gn[t) et définir l'intégrale ci-dessus comme la limite d'une suite d'intégrales

ÎTzJ^ t — Z

Mais tout cela est inutile et je définis directement la fonction h{z) par l'intégrale portant sur g{t).

Le fait que sous le signe d'intégration figure un nombre complexe z ne peut introduire aucune difficulté.

Il est manifeste que les points singuliers de la fonction h(^z) font partie de l'ensemble P.

D'autre part, puisque g{t) est une dérivée, la fonction

est aussi une dérivée.

Il existe donc une fonction F(/, z) définie, à une constante près, dans l'intervalle (a, p) et telle que

dt t — Z

Dans tout ce qui précède le nombre complexe z est à considérer comme un paramètre.

On a donc

Pour voir maintenant comment se comporte la fonction h{z) lorsque le point z

46 D. POMPEIU.

s'approche d'un point Ç de l*ensemble P, considérons un point z = ^-\-.iy dont Tabscisse Ç est fixe et dont l'ordonnée j/* joue le rôle de paramètre. Posons

On aura

Dans cette formule la fonction

est déterminée par la condition de s'annuler à l'infini. Quant à l'intégrale

elle tend, lorsque^ tend vers zéro, vers la valeur principale (au sens deCauchy) de l'intégrale

Désignons par E(^, z) la fonction primitive de

La valeur principale de l'intégrale précédente est

C'est une fonction bornée. Je poserai

Donc, en définitive,

Nous n'avons pas envisagé le cas où le point z s'approcherait de l'un des points extrêmes a et ^. Mais ce cas rentre dans l'analyse précédente. En effet, nous avons supposé

Cela étant, prenons deux points

azzzat, — A, 6=:(3-hA;

le nombre A étant positif. Convenons que dans les intervalles (a, a — A)et(P4-A,6) la fonction g(^f) soit nulle. Dansrintervalle(a, h) la fonction ^(/) est une fonction dérivée, et les points a et ^ sont maintenant intérieurs à (a, 6).

En résumé, A(^) étant la somme de deux fonctions bornées est elle-même une fonction bornée.

il. L'analyse précédente montre que tout point 2^ de l'ensemble P est un point singulier de la fonction A (2). Nous savons que, dans le cas où les points 2^ forment un ensemble de longueur nulle, la fonction h(^z) ne peut pas être bornée. Dans Pexemple précédent- nous sommes certains, d'après la nature de la fonction g{^t)y que les points X^ forment un ensemble de longueur non nulle. En effet, soit A. une valeur que prend, en un certain point, une fonction dérivée, définie dans un intervalle : l'ensemble des points où la fonction est différente de A a une longueur non nulle. C'est une proposition démontrée par M. Lebesgue.

12. Dans l'exemple que nous venons de donner nous avons supposé que l'ensemble parfait P, de longueur finie, était placé sur une droite. Mais la définition générale que nous avons donnée (n'^ââ de la première Partie) de la longueur d'un ensemble fermé ne suppose nullement que P soit placé sur une ligne rectifiable.

Considérons Tensemble parfait formé par les points Ç = i + £7| définis de la façon suivante

le nombre des fractions étant fini ou infini et les quantités % et ^ ne pouvant prendre d'autres valeurs que o ou 3.

Cet ensemble a une longueur finie et cette longueur est égale à |.

Pour pouvoir construire, à l'aide d'une intégrale, une fonction analj^tique uniforme et bornée, admettant comme points singuliers les points 2^, il faudrait pouvoir faire passer une ligne rectifiable par tous les points 2^.

On est ainsi naturellement amené à se demander si tout ensemble de longueur finie ne fait pas partie d'une certaine ligne rectifiable convenablement choisie.

Tout porte à penser que cette question doive être résolue par l'affirmative. En «ffet, on a pu faire passer une ligne continue par tous les points d'un carré. Il

48 D. POMPEIU.

semble naturel que l'on puisse faire passer une ligne rectifiable par tous les points d'un ensemble de longueur finie.