ENSEMBLES D'AIRE NULLE

13. Nous avons démontré (Chap. III, V^ Partie) que tout ensemble parfait se compose d'un ensemble E| et d'un ensemble E2 que nous avons appelé irréductible.

L'ensemble E2 est parfait. L'ensemble E| possède la propriété suivante :

Si l'on décrit, d'un point de E| comme centre, un cercle ne contenant pas de points de E2 dans son intérieur, mais pouvant en contenir sur sa circonférence, les points de E| contenus dans ce cercle forment un ensemble réductible d'ordre un.

Nous sommes assurés, par les théorèmes de la première Partie, qu'une fonction analytique uniforme dont les points singuliers forment un ensemble parfait ne peut pas être continue pour les points de l'ensemble E|. Il n'en est pas de même pour les points de l'ensemble E2 : les théorèmes de la première Partie ne nous apprennent rien sur cet ensemble.

Nous avons même pu construire (n° 3i de la première Partie) une fonction sjneclique (non analytique) dont les points 2^ forment un ensemble E29 cette fonction étant continue dans tout le domaine où elle est définie.

Il se pourrait donc qu'il existe des fonctions analytiques uniformes dont les points singuliers forment un ensemble irréductible d'aire nulle, ces fonctions étant continues, même pour les points singuliers.

Comme type d'ensemble purement ponctuel irréductible et d'aire nulle, je donnerai celui-ci :

Ût| . a, ^ OCn

le nombre des fractions étant fini ou infini et les quantités a et ^ ne pouvant prendre d'autres valeurs que o ou a.

14. Si les points singuliers d'une fonction analeptique uniforme h(z) forment

un ensemble d^aire nulle, el si la fonction h(z) est continue en ces points singuliers, on peut démontrer un théorème relatif à la dérivée : celle dérivée A'(c) devient nécessairement infinie lorsque l'on s'approche d'un point singulier. Donc h'(z) n'est pas bornée.

La démonstration de ce théorème est identique à une démonstration que nous avons donnée, dans la première Parlie, pour une proposition relative aux ensembles d'aire nulle.