CHAPITRE I

LES FONCTIONS HOLOMORPHES.

5. Si une fonction /(s), définie dans un domaine D, simplement connexe, est holomorphe :

1*^ Elle est continue ;

2° L'intégrale / f{z)dz, prise le long d'un contour fermé, est nulle.

Ces conditions sont donc nécessaires pour qu'une fonction soit holomorphe. Je vais démontrer qu'elles sont, en même temps, suffisantes,

6. Soit C un cercle complètement intérieur au domaine D. Nous allons raisonner seulement sur la portion du domaine D comprise dans C, mais comme C est un cercle quelconque, intérieur à D, nos conclusions s'appliquent au domaine D tout entier.

Désignons par z^ un point fixe pris dans C. Je définis, dans le cercle C, une fonction F(2), analogue à la fonction G{z) du u^ 2. Je pose donc

F(z)=J/(z)dz,

le chemin d*intégration étant le segment rectiligne ZqZ, La fonction F(z) est continue dans C et, de plus, monogène au point Zq] sa dérivée, en ce point, est égale

Soit maintenant Zt un point quelconque pris dans C. Je définis une nouvelle

fonction F| (z) par Tégalité suivante :

h\(z) = ¥{z,)-^f/(z)dz.

le chemin d'intégration étant le segment rectiligne ZtZ. La fonction F|(z) est monogène au point Zt ; sa dérivée, en ce point, esl/(Zi), Mais l'intégrale

'^/(z)dz

prise le long du triangle déterminé par les points Jq? ^i ^^ ^ étant nulle, par

6 D. POMPEIU.

hypothèse, on conclut

Donc la fonction F(^) est monogène au point z^ et, ce point étant un point quelconque dans C, la fonction F(z) est liolomorphe dans C, sa dérivée étant/(z).

Mais on démontre que la dérivée d'une fonction holomorphe est elle-même une fonction holomorphe. Donc/(2) est holomorphe dans le cercle C; ce qu*il fallait démontrer.

7. Je vais donner maintenant, du même théorème, une nouvelle démonstration, directe et qui nous fournira l'occasion d'exposer une mélhode qui joue le rôle essentiel dans presque toutes les démonstrations que nous aurons à faire.

Le principe de celle méthode est dû à M. Goursat, qui Ta appliqué à la démonstration du théorème fondamental de Cauchy (Acta mathematica, t. IV). Cette démonstration repose sur un lemme fondamental (Transactions oj the American math, Society y 1900). Nous donnerons au lemme de hf. Goursat une forme tout à fait générale qui le rende susceptible des diverses applications qu'on en peut faire.

Dans les définitions de la conlinuité ou de la monogénéilé d'une fon<:tion en un point, il intervient des conditions d'inégalité qui doivent être vérifiées à l'intérieur de certains cercles ayant ce point pour centre.

Cela conduit à examiner une question relative aux domaines à deux dimensions.

Soit R une région connexe dans le plan de la variable complexe z. Je suppose qu'à chaque point z de K ou de son périmètre correspond un cercle C de rayon r non nul ayant ce point pour centre. Le rayon r peut varier d'un point à l'autre, mais pour aucun point z ce rayon n'est nul.

Cela posé, définissons une expression introduite par M. Goursat.

Désignons par A une portion de la région R. Nous dirons, avec M. Goursat, que la région A satisfait à la condition (a) s'il est possible de trouver dans A ou sur son périmètre un point a tel que la région A soit complètement intérieure au cercle C correspondant au point a et ayant ce point a pour centre.

Supposons maintenant que la région H ne satisfait pas à la condition (a).

Je dis qu'il est toujours possible de subdiviser R en régions, en nombre fini et assez petites pour que chacune d'elles satisfasse à la condition (a).

C'est le lemme de M. Goursat.

Il se démontre facilement par le procédé bien connu des subdivisions successives. On fait ainsi voir qu'il est absurde de supposer le lemme en défaut. On peut consulter, à cet eiTet, l'article de M. Goursat dans les Transactions. Dans le raisonnement de M. Goursat, les cercles C, dont il est question plus haut,

peiivenl être déHnis de la façon suivante : z^ étant un point fixe pris dans R ou sur son périmètre, j^atlache à ce point le plus grand cercle C tel que Ton ait

pour tout point z intérieur à C; s étant un nombre positif donné à l'avance.

C'est pour cela que M. Goursat emploie l'expression : condition {cl) relative au nombre e. Mais on voit tout de suite que le raisonnement de M. Goursat, pour établir son lemme, est indépendant du procédé particulier par lequel on définit les cercles C. Ce qui est essentiel dans ce lemme, c'est le fait qu'à chaque point pris dans R ou sur son périmètre correspond un cercle de rayon non nul ayant ce point pour centre. Les moj^ens par lesquels on définit ces cercles n'ont pas à intervenir dans la démonstration du lemme.

Le lemme de M. Goursat est donc vrai sous la forme générale que nous lui avons donnée.

8. Reprenons maintenant la fonction f{z) définie dans le domaine D, simplement connexe. Je fais sur cette fonction les hypothèses suivantes : 1° f{z) est continue dans D;

2° L'intégrale j /(z)dz est nulle pour tout contour fermé intérieur à D.

Il s'agit de montrer quey*(;:) est monogène pour tout point intérieur à D.

Soit Zo un point intérieur au domaine D. Je trace autour du point Zq un contour simple fermé C complètement intérieur à D et j'appelle R la région simplement connexe délimitée par le contour C.

Je fais correspondre à chaque point de la région R et de son périmètre un cercle bien déterminé, ayant ce point pour centre.

Au point Zo j'attache le plus grand cercle Go, ayant Zq comme centre et tel que Ton ait

\Az)-Azo)\^B

pour tout point z intérieur à Gq, e étant un nombre positif donné à l'avance.

Au point z dont la distance à Zq est 8= |z — 5o|, je fais correspondre un cercle G, de centre z et de rayon r, tel que Ton ait

pour tout point u intérieur à G; e étant le même nombre que tout à l'heure J'ajoute encore la condition

qui est évidemment compatible avec la condition précédente.

O D. POMPEIU.

De cette façon, à chaque point de la région R el de son périmèlre se trouve attaché un cercle, a^ant ce point pour centre.

9. Cela étant, désignons par Ro la région comprise entre les contours C et Gq. Diaprés le lemme de M. Goursat, il est possible de diviser Re en un nombre fini de régions assez petites pour que chacune d'elles satisfasse à la condition (a) relativement au nombre e. Pour fixer les idées, je suppose qu'on a décomposé Ro en carrés et portions de carrés (carrés écornés par les contours C et Co) en nombre égal à n.