Je me propose de calculer Fintégrale
Cette intégrale est rgale à la somme des intégrales prises le long de chacun des contours fermés partiels déterminés par la division de la région Rq. Considérons d'abord Tintégrale
On peul encore l'écrire
L'intégrale du second membre a un module inférieur à e, de sorte que Ton peut écrire
yo=/(5o)-hx»
y^ étant un nombre dont le module est, au plus, égal à e.
Prenons maintenant dans la région R© un carré complet Qa : ce carré est intérieur au cercle Ga correspondant au point z^*
On a identiquement
Multiplions, dans les deux membres, par /(s) et intégrons le long du périmètre (Qa) du carré Qa.
J'écrirai, pour abréger,
SUR t\ CONTÏNUITK DES FONCTIONS DE VARIABLES COMPLEXES. 9
L'intégrale
(Qfc)
est nulle en verlii de nos hjpolhèses.
L'intégrale
peut s'écrire
puisque l'intégrale
est nulle. Donc
••i^TT (-0 --/*/ ^/,Q^i
Sous celte forme on voit que le module dey"^ est inférieur au nombre
en désignant par /'a la longueur du côté du carré Qa. Considérons maintenant l'intégrale
On peut récrire
puisque l'intégrale
est nulle.
Donc PintégraleyJJ est inférieure en module au nombre
- ri v^ &/, £, en désignant par 0,^ un nombre positif convenable inférieur à l'unité. On a, en
lO D. POMPEIU.
efTet, sur le périmètre (Qa)
diaprés une de nos hypothèses.
En définitive,
\j\mju\+\/H\-h]jv.,
onc
et , a fortiori,
iy*i^-'-îv'â«(n-ôA)
\jh\<-'rl\/2£.
El, si Ton fait la somme de toutes les intégrales relatives aux carrés complets, on trouve un nombre dont le module est certainement inférieur à
en désignant par a l'aire de la région R.
Passons maintenant aux carrés écornés par le contour (C) ou la circonférence (Go). Soient Q* un de ces carrés et G* le cercle, de centre 5a, auquel Q* est complètement intérieur.
Xous écrirons encore
Multiplions dans les deux membres par f[z) et intégrons le long du périmèlre (Qa).
Nous écrirons encore
Jk=Jk+Jk-^Jkf
cl nous ferons subir aux trois intégrales du second membre les mêmes transformations dont nous nous sommes servi dans le cas du carré complet Qa-
L'intégrale
•» * 'fc -',*.. -'O — ^k
*^uo "^ - -^
est nulle. L'inlégiale
a un module inférieur au produit
fk étant la longueur de la partie curviligne du contour (Qa)«
En elTet, la fonction soumise à l'Intégration a, le long du chemin d'intégration, un module moindre que rk\[^t\ d'autre part, la longueur du chemin d'intégration
est certainement inférieure à 4'>+/a- E» mettant aussi le facteur — s on a le
ut:
résultat annoncé.
L'intégrale
(Ut)
est égale à l'intégrale suivante
(Uk)
Elle a donc un module inférieur à la quantité
donc inférieur à
En définitive
~-{^''k'hlk)rk^'it.
|yV|$i(4a.-H4)rAVïs.
TT
Faisons maintenant la somme de toutes les intégrales relatives aux carrés écornés. On obtient un nombre dont le module est certainement inférieur à
ou
X étant la somme des longueurs du contour (C) et de la circonférence (Gq); o une limite supérieure des nombres />.
Faisims enfin la somme
12 D. POMPEIU.
de loulcs les inlégrales que nous venons de considérer. On trouve quVlle est formée du nombre f{z^) et d'une partie additionnelle dont le module est certainement inférieur à
ou à
T.sJ'l
Comme le nombre positif fi est arbitraire on conclut que cette partie additionnelle est rigoureusement nulle.
