CHAPITRE IL

LES ENSEMBLES DÉNOMBRABLES.

13. La remarque de Briot el Bouquet conduit^ comme je l'ai déjà fait observer, au théorème suivant :

Soit f{z) une fonction de variable complexe, définie dans un domaine D et monogène pour tout point intérieur à D, sauf peut-être pour un point Ç, intérieur à D. 5* la fonction f{z) est continue au point s elle est aussi mono^ gêne en ce point,

La théorie des ensembles permet de donner tout de suite Texlension la plus complète à ce premier résultat. On a ainsi la proposition générale suivante :

Soit f{z) une fonction de variable complexe y définie dans un domaine D. On suppose que cette fonction est monogène pour tout point intérieur à D, sauf peut-être pour certains points Ç formant dans l'intérieur de D //// ensemble réductible. Si la fonction f(z) est continue pour tout point ^ elle est aussi monogène en ces points.

Je n'entrerai pas dans les détails du raisonnement qui permet de passer du cas d\in seul point ^ au cas où les points ^ forment un ensemble réductible. Ce rai-^ sonncment est, en quelque sorte, indépendant de la nature particulière du théorème qu'il s'agit d'établir et il a été exposé pbis d'une fois et très complètement à l'occasion d'autres recherches. Je citerai, par exemple, la Thèse de M. Baire : Sur les fonctions de variables réelles, où (p. 32-37) '^ notion d'ensemble réductible s'introduit dans une (piestion de nature tout à fait diflerenle. Le raisonnement est d^ailleurs absolument le même, que les points ^ soient situés sur une droite ou distribués dans le plan»

14. Je me propose d'établir un théorème qui comprendra celui qui précède comme cas particulier.

Soitf{z) une fonction de variable complexe, définie dans un domaine D ( * ). Je suppose que cette fonction est monogène pour tout point intérieur à D,

Cj Pour simplifier je suppose toujours que D est un domaine simplement connexe.

l4 D. POMPEIU.

sauf peut-être pour certains points s, formant dans D un ensemble dcnomhrable.

Je dis que si la fonclioiiy(^) est continue aux points ^ elle est aussi monogène en ces points.

On remarquera que cet énoncé est plus général que celui du. numéro précédent. En eflTel, il s^agit ici de Tensemble dénonibrable le plus général, qui peut être partout dense, tandis que Fensemble réductible étant fermé est nécessairement non dense.

15. Diaprés nos hypothèses, il y a dans Tlntérieur du domaine D deux sortes de points : d'abord les points z pour lesquels la fonction est supposée monogène; ensuite les points !^, pour lesquels on sait seulement que la fonction est continue.

Je désignerai par u tout point intérieur à D lorsqu'il n*j aura pas lieu de distinguer si ce (^nt est un point z ou un point ^.

Cela posé, prenons un point z fixe. Je lui fais correspondre le plus grand cercle G, de centre Zj et tel que Ton ait

pour tout point u intérieur au cercle G.

La lettre t désigne un nombre positif donné à Tavance.

Considérons maintenant les points !^. Je suppose que ces points ont été rangés en suile simplement infinie

Au point !^A je fais correspondre le plus grand /cercle F^, de centre ^a? le! que Ton ait

pour tout point u intérieur à F^*

De cette façon, chaque |:oint intérieur à D est le centre d*un cercle, de rayon non nul, attaché à ce point.

16. Cela étant, traçons, dans Fintérleur de D, un contour fermé quelconque C. J'appelle R la région délimitée par le contour C. Maintenant servons-nous du lenune de M. Goursat pour partager II en réglons, en nombre fini et assez petites |)0ur que chacune d'elles satisfasse à la condition (a).

Pour fixer les idées je suppose qu'on partage 11 en carrés par des parallèles aux axes des coordonnées.

17. ^intégrale de la fonclion f{z)^ prise le long du contour C,

esl égale à la somme des intégrales prises le long des conlours partiels déteniiinés par la division de la région R.

Considérons d*abord les carrés complètement intérieurs au conlour C. Un de ces carrés, Q/i, par exemple, est complètement intérieur à un des cercles G

ou r.

Supposons d^abord que Qa soit intérieur au cercle Gh de centre Zh* On a, le long du périmètre (Qa) du carré Qa,

d'où Ton conclut facilement

r Ali) du

\i sj'^ Ê,

en désignant par r^ la longueur du côté Q>^.

Si Qy^ était intérieur au cercle T/i, du centre 2^a, on pourrait écrire

C /( u) du =zf [/( ^/) ~ /(Kn)] du.

puisque le long du contour fermé (Qa) l'intégrale

est nulle.

Donc

f{Kh)fdu

f Ali) du

En définitive, si Ton fait la somme des intégrales relatives aux carrés complets, on trouve un nombre dont le module est certainement inférieur à

a étant Taire de la région R et p une limite supérieure des longueurs des côtés /•/,.

Passons maintenant aux carrés écornés par le contour C. Sait Qa un de cv9>

D, POMPEIC.

carrés. Si Qa esl inicrieiir à un cercle G on aura

f{u)du

S(4a-+-/A)aV^£,

/> élant la longueur du côté de Q^el /a la longueur de la parlie curviligne du con« tour (Qa).

Si le carré Qa élail inlérieur au cercle Fa de centre sa^ on aurait

C /{u)du = f [/{u)-/(K,)]dii

et, par conséquent,

f\,u)du

et, a fortiori^

f{n)dtt

À étant la longueur du contour C.

De sorte que la somme de toutes les intégrales relatives aux carrés écornés est inférieure, en module, à

en supposant que le nonibre p, de tout à Theure, est aussi une limite supérieure pour les côtés Ta*

Faisons maintenant la somme des intégrales relatives à tous les carrés tant écornés que complets.

On trouve que

/(ti)dii

^ (8flC 4- Xp) s/'i £ -f- (8p 4- l) B.

Puisque ^intégrale du premier membre est une constante et, dans le second membre, le nombre e est arbitraire, on conclut que cette intégrale est nulle.

18. Maintenant, si Ton se rappelle que le contour C est un contour fermé quelconque, intérieur à D et que la Tonction /(u) est continue dans D, on conclut, d'après le théorème du Chapitre précédent, que la fonction /(w) est holomor|)lie dans D.

C'est ce que l'on voulait démontrer.