I. Si Von désigne par

des constantes positives quelconques, par t une constante positive plus petite que I , et si Von pose, pour abréger,

le système différentiel total obtenu en égalant à

28 MÈIUY ET RIQUIEH.

tes gli quantités

j3, du (3î d\> ai dx «1 dx

\^du Pj ds^

admet un groupe d'intégrales ordinaires olotropes en œ^^y^^ ... et s y réduisant respectivement à u^^i^^, ... ; les dérii^ées de tous ordres de ces intégrales ont des valeurs initiales essentiellement réelles, positives et indépendantes des valeurs particulières choisies pour j:^© » J o • • • • • "o ♦ ^'o »

Effectivement, ce système mis sous forme immédiate est passif, ainsi qu'il est facile de s'en assurer, et admet par conséquent (n° 31*) un groupe d'intégrales ordinaires satisfaisant aux conditions initiales dont il s'agit. Si l'on développe maintenant la fonction 0(t) suivant la formule

et qu'après avoir remplacé t par sa valeur on ordonne par rapport aux puissances de

X »Tq, y ~~ yof • • • » u liQf i* Cq, . • . »

on voit immédiatement que les valeurs initiales de cette fonction et de ses dérivées de tous ordres sont essentiellement réelles, positives et indépendantes des valeurs particulières choisies pour a7o, jo> •••» «^o»

Vq 11 en est de même de la fonction 3— -^ qu'on peut déve-

lopper suivant la formule

par suite enfin du produit H^QC'?)— --g.-v ? second membre commun à

toutes les équations différentielles du système total. Les valeurs initiales des dérivées de tous ordres de nos intégrales jouissent donc, elles aussi, de la propriété énoncée ; car, en vertu des formules ultimes appliquées à leur calcul, elles se présentent sous forme d'expressions entières, sans aucun signe —, par rapport aux valeurs initiales de la fonction (6) et de ses dérivées partielles.

II. Les intégrales dont nous venons de constater l* existence vérifient identiquement un système [ I, L |, immédiat et linéaire comme [/, /], et présentant avec lui cette seule différence que les diverses fonctions

s'y trouvent remplacées par des Jonctions de la forme\@ (^^z) , . . ., où X, . . . désignent des constantes positives.

Soient, en eflet,

l'une des équations du système [e, /J; q le nombre, au moins égal à i, des dérivées paramétriques dont le caractère immédiat du système autorise la présence dans le second membre de l'équation (8) (10); etv,, Va, ..., v^ des quantités positives vérifiant la relation

V, -h Vj-f-. . . h V^— £.

De Téquation

;3t du ^ iULe(7)

(Xx dx 1 — s B(t)

qui figure dans le système différentiel total défini à l'alinéa I, on tire immédiatement

Comme les diverses quantités (7) deviennent identiquement égales entre elles par la substitution à u, r, ... des intégrales considérées, la

dérivée -,- ne diffère alors que par un facteur constant positif de chacune des q dérivées qui figurent éventuellement dans le second membre de l'équation (8); rien n'est donc plus facile que d'introduire ces y dérivées respectivement dans les q derniers termes de l'équation (9) à la place de -7-.- On fera des calculs analogues au précédent

en considérant l'une après l'autre toutes les équations du système [«, /], et il est clair que le système f I, LJ ainsi obtenu satisfera à toutes les conditions énoncées.

M. et R. 5

3o MÉRAY ET RIQUIEB.

Nous nommerons v, . . . toutes les quantités analogues k v,, Vs. . . ., v^ qui figurent dans les seconds membres de ces nouvelles équations; ^*(;r, j, ..., a, (^, ...),... les coefficients des dérivées paramétriques eiù(x,y, ..., M, ç', ...),... les termes indépendants de ces dérivées dans les mêmes seconds membres; enfin Y, $, . . . les déterminations initiales, relativement au système [I, L], des intégrales dont nous venons de constater l'existence.

En désignant par V, ... celles des constantes X, . . . qui figurent dans lune ou l'autre des fonctions W (a?, y, ...,«, r, .. .), , . . , et par A", . . . cellesquifigurentdansVuneou Vautre des fond ions il(xyy, .... m, i^, ...),... , on voit immédiatement que les premières ont des expressions indépendantes de (X, et les secondes des expressions linéaires par rapport à jjl.

III. Soient r une constante positive inférieure à tous les olomètres des composantes ^{x^y^ .. .; w, c, .. .)♦ . .., a)(a*,j, . ..; m, t^, . . .), .. ., et des déterminations initiales u, ç, ... pour les valeurs initiales de leurs variables respectives; M, ... d'autres constantes positives en même nombre que les fonctions ^, . . ., et respectivement supérieures (ou égales) aux modules que ces dernières peuvent acquérir à l'intérieur et sur les circonférences des cercles de rayon r ayant pour centres les points x^^ j^, . . ., "ot ^'o? • • • • »' ^st clair que les constantes M, . . ., les constantes v, ... et les constantes V, ... se correspondent respectivement.

Supposons actuellement que, par un choix convenable des constantes

(lo) ai, «2, ..., «/,; (3„ (3j, ..., [3^; e; v,

on puisse réaliser à la fois toutes les conditions suivantes : en même temps que la constante i est inférieure à l'unité et que les diverses constantes v, . . . figurant dans une même équation quelconque du système [I> L] ont une somme égale à e, comme l'exige la définition du système dont il s'agit, les constantes a,, a,, . . ., a^^, ^^, ^2» • • •» ^g sont toutes supérieures (ou égales) à -y et les constantes X', ... [dont les valeurs dépendent de celles

qu'on attribue à (lo)] respectivement supérieures (ou égales) aux constantes M, —

Cela étant, le système [i, l\ admet certainement un groupe d'intégrales

SUR U CONVERGENCE DES DÉVELOPPEMENTS DES INTÉGRALES ORDINAIRES. il

fictives répondant aux déterminations initiales u, ^, . . ., et construites à l'aide des relations (cr ).

Effectivement, soient

N une quantité positive supérieure à tous les modules que peuvent acquérir les composantes o), ... et les dérivées premières des fonctions i;, ç, . .. à l'intérieur et sur les circonférences des cercles de rayon r ayant pour centres les valeurs initiales de leurs variables respectives;

a la plus petite des quantités a,, a^, .. ., a^;

B la plus grande des quantités ^|, ^2, .. ., p^.

Prenons enfin pour la constante jjl, encore indéterminée, une valeur véritiant Tinégalité

Cela étant :

1° Puisque les constantes V, ... sont respectivement supérieures aux constantes M, .. ., et les constantes a^, a^, .. ., a^^, p^, p^, . .., ^g

toutes supérieures k -> on voit sans peine que, par rapport aux valeurs

initiales x^^ y^^ . . ., w^, v^, . . .^ les fonctions W^ . . . sont respecti{^ement majorantes (31*, I ) pour les fonctions

a- — .Vf, -h y —- >'o -\- . . . -h tt — w„ -h «' — i'o -h . . .

qui, à leur tour et en vertu du même raisonnement qu*au n** 31* (11^, sont respectivement majorantes /^our/e^yb/ic/Zo/i^ 'j», D'autre part,

les constantes X", . . ., au moins égales à jjl tt? sont toutes supérieures

à N en vertu de l'inégalité (11) : les fonctions il, ... sont donc majorantes pour

et, a plus forte raison, pour les fonctions co,

'^2 MÊR.VY KT UIQi:iEll.

2" Il est clair que les valeurs initiales des dérivées de tous ordres des fonctions Y, $. ... coïncident avec les valeurs initiales des dérivées semblables des intégrales dont nous avons constaté l'existence dans le système différentiel total considéré à l'alinéa I. Or dans ce dernier, mis sous forme immédiate, le second membre d'une équation quelconque est évidemment majorant pour

B^i"eë(T)

et à plus forte raison pour

car on voit aisément que la suppression du dénominateur i - £0(t), puis la diminution des coefficients positifs a,, a^, .. ., ay^ etfi<, ^2, .. ., p^, qui se trouvent remplacés, les premiers par a, les seconds par o, ne peuvent que diminuer les valeurs initiales de la fonction et de ses

dérivées de tous ordres; d'ailleurs, en vertu de (11) et de «">-) la

fonction (12) est à son tour majorante pour

(i3) Ne i(^-./o-f v — joH-...) .

Donc les seconds membres des équations du système différentiel total mis sous forme immédiate sont tous majorants pour la fonction (i3) relativement aux valeurs initiales x^, jo» •••♦ "0,^0, — Dès lors, si l'on considère d'une part le système dont il s'agit, d'autre part le système différentiel total évidemment passif qui se déduit du précédent en y remplaçant tous les seconds membres par la fonction (i3), il résulte immédiatement de la forme des expressions ultimes (^15), (16, 3°) que les dérivées de tous ordres des intégrales déterminées par les conditions initiales u=^ Uq, ç^ = ç^,,, . . . pour x = x^, y — r^, . . . auront dans le premier des valeurs initiales supérieures à celles qu'elles possèdent dans le second. D'après cela, la valeur initiale cVune deris'ée quelconque d'ordre m rfe Y, 4>, . . ., surpassera la quantité

SITU LA CONVKRl.ENr.E DES DÉVELOPPEMENTS DES KNTÈGKALES ORDINAIRES. Xi

et à plus forte raison (comme dans i*^) le module de la valeur initiale de la dérivée semblable de u, o, . . ., qu'on peut considérer comme une dérivée d'ordre m — i de quelqu'une des dérivées premières.

3*" Les relations primitives, intermédiaires et ultimes, se correspondant respectivement dans les deux systèmes [/,/], [I, Lj, on peut, aux relations (gi) du premier système, faire correspondre dans le second un groupe de relations que nous désignerons par (II). Or les expressions ultimes fournies par (II) sont entières par rapport aux fonctions W, . . ., û, . . . et à leurs dérivées partielles, comme aussi par rapport aux dérivées partielles des fonctions Y, $, . ..; et les expressions ultimes fournies par (gt) sont composées exactement de la même façon avec les fonctions vp, .. ., w, ..., leurs dérivées partielles, et les dérivées des fonctions 'j, 9, Donc, en vertu de ce qui précède (1°, 2^),

les intégrales du système [ I , L ] dont r existence a ét&constatée plus haut (II) admettent pour leurs dèriK^ées principales de tous ordres des valeurs initiales respectivement supérieures aux modules de celles que donnent les formules (co^) et les déterminations initiales u, ç, ... pour les dérivées semblables des intégrales fictives dont V existence est à démontrer,

!f Les développements des intégrales considérées du système [I, LJ étant de toute nécessité convergents, il résulte immédiatement de ce qui précède (2°, 3"^) que les développements construits à l'aide des formules (ci) et des déterminations initiales u, o, ... ne peuvent manquer de l'être aussi.

IV. Tout se réduit maintenant k prouver qu'en supposant régulier le système [/, /|, les conditions énoncées au début de l'alinéa III peuvent être satisfaites toutes à la fois par un choix convenable des constantes (10). A cet effet, nous fixerons arbitrairement les constantes £, V, ... sous les seules conditions exigées par la définition du système f I, L] (I, II), et nous ferons voir qu'en désignant par P, Q deux constantes positivesabsolument quelconques, on peut trouver pour a<, ..., a>i, Pi , . . . , p^ des valeurs toutes supérieures à P, et telles que les constantes X', ... soient toutes supérieures à Q.

Nommons a, p, y, y) quatre constantes positives, et prenons : i°pour a«, a^, ... les produits de y par des puissances de a dont les exposants soient respectivement égaux aux rangs de régularité des variables 07,

M MÉRAY ET RIQUIEK.

j, ... dans le système [£,/J ou [I»LJ; 2"* pour ^4, ^2, ... les produits de Y] par des puissances de p dont les exposants soient respectivement égaux aux rangs de régularité des fonctions inconnues a, i', Désignant enfin par n la plus petite des constantes v, ..., assujettissons a, p, y, Y] à vérifier les inégalités évidemment compatibles

Cela posé, on voit immédiatement qu'en vertu de {if\) et (16), les constantes appartenant respectivement aux deux groupes a^, . . ., a^^ et p,, ..., ^g sont au moins égales, les premières à ya^, les dernières à yj^, et que dès lors, en vertu de (18) et (iqX elles sont les unes et les autres supérieures à P.

D'autre part, si l'on désigne par t^^\ ... les diverses variables de rang/, par /^*\ ... les diverses fonctions de rang A du système [I, L], par //', . . . , s^^\ . . . leurs valeurs initiales, l'une quelconque des équations qui composent ce système est de la forme

(20) '! piki-k ds^ftf)

et il s'agit de faire voir que la constante "^ jizj est nécessairement supérieure à Q. Observons à cet effet qu'elle ne peut tomber au-dessous de

Si k^ > k, la différence f — J peut avoir une valeur entière quelconque n'excédant pas l'intervalle de — (h — i) à A — i, et, comme les constantes a, p sont la première inférieure, la seconde supérieure à l'unité, l'expression (21J surpassera toujours n^a^, et à plus forte raison Q en

vertu de l'inégalité (17). Si k' -^ k, on a nécessairement/ >y, parce que, alors, pour s^'^'' comme pour ^^* , la variable t'-J^ est principale et Tautre t^'^ paramétrique relativement au système [I, L); la plus petite valeur

possible (le la même expression sera donc -> quantité encore supé-

rieure à Q en vertu de l'inégalité (i5). Le cas deÀ:'<A- ne peut|d'ailleurs se présenter; car alors, des deux fonctions s^'^' , s^^\ la première aurait un rang de régularité inférieur à celui de la seconde, et par suite aucune dérivée de s^^'^ ne pourrait figurer dans le second membre de l'équation (20^ qui a pour premier membre une dérivée de s^'^K

30. La proposition du numéro précèdent subsiste pour tout système immédiat et linéaire pommant se déduire de quelque système partiel, immédiat et régulier, par la suppression de certaines équations différentielles.

Il est évidemment permis de supposer que le système partiel, immédiat et régulier dont parle l'énoncé, est lui-même linéaire : désignons alors par |[i, /]] le système proposé, par [1, /] celui d'où on peut l'extraire, et par (yj l'ensemble des équations qu'il faut adjoindre au premier pour obtenir le second. Le système auxiliaire [I, L] considéré au numéro précédent (II) se compose évidemment de deux groupes

[[I,L]], (X) qui correspondent respectivement aux groupes

dont se compose [1, /|. Si Ton fixe arbitrairement les constantes e, V, ... sous les seules conditions exigées par la définition du système [I, L|, il résulte de ce que nous venons de voir (29, IV) que, P, Q désignant deux constantes positives absolument quelconques, on peut trouver au-dessus de P des valeurs de a,, . . , a^^, p,, .. ., ^^ rendant supérieures à Q les diverses constantes A', ... du système [I, L], et par suite celles du groupe [[1, L]]. Il suffît maintenant, pour acbever la démonstration, de se reporter à la proposition énoncée dans l'alinéa III du numéro précédent.

31 . La proposition du n" 29 ne cesse pas d'être vraie lorsque le système

36 MERAY ET RÏQUIER.

différentiel considéré est total, ou qu'il peut se déduire de quelque système total par la suppression de certaines équations.

Nous supposerons, comme toujours, que le groupe simple de formules à Taide duquel on construit les développements est entièrement composé de reK^tions ultimes. Nous nommerons

^0» Vo» • • • l^s valeurs initiales des h variables indépendantes x,y, , .\

Wft» ^0» • • • celles des g fonctions inconnues a, ç^, . . .; .

u, ç, ... les déterminations initiales de ces dernières;

a)(^, j, . . ., w, i^, . . .), ... les seconds membres des équations proposées;

r une première constante positive inférieure h tous les olomètres des fonctions co, . . ., u, o, ... pour les valeurs initiales de leurs variables respectives;

fjL une deuxième supérieure à tous les modules que les fonctions co, . . . et les dérivées premières de i>, 9, ... peuvent acquérir à Tintérieur et sur les circonférences des cercles de rayon r ayant pour centres ces valeurs initiales.

Nous poserons enfin

et nous considérerons le système total obtenu en égalant à \(x, j, . . . , 1/, ^, . . . ) les gh dérivées

du d\'

(i.c rt.r

du di>

dv dy

Ce système passif possède un groupe d'intégrales ordinaires olo-

tropes en j^o» Je ■••» s'y réduisant respectivement à w^, «^o ^^

possédant des dérivées de tous ordres dont les valeurs initiales sont essentiellement réelles, positives et indépendantes des valeurs particulières choisies pour^o» Jo» • • •» w^, v^, . . .; les intégrales en question

vérifient donc aussi le système, extrait du précédent, dont les diverses équations ont respectivement les mêmes premiers membres que celles du proposé. En appelant Y, $, ... les déterminations initiales de ces intégrales relativement au nouveau système ainsi obtenu, on verra sans peine : i^ que la fonction A est majorante pour toutes les fonctions (0, . . .; 2^ que la valeur initiale d'une dérivée quelconque de Y, $, . . . surpasse le module de la valeur initiale de la dérivée semblable de u, ç, Après quoi, la comparaison des formules ultimes correspondantes dans le système proposé et dans celui qu'on vient de former prouvera immédiatement l'existence des intégrales fictives.

32. Au sujet des propositions qui font l'objet du numéro précédent et de l'alinéa III du n** 29, on pourrait faire des remarques analogues à celles du n° 32*. Nous les supprimons à cause de la longueur de leurs énoncés, mais le lecteur y suppléerait facilement au besoin.

33. Les propositions successivement démontrées aux n®* 29, 30 et 31 peuvent se résumer dans l'énoncé suivant :

Tout système différentiel jouissant de la triple propriété d' être immédiat^ régulier ou semi-régulier, et linéaire, possède un groupe d'intégrales fictives répondant à des conditions initiales données, et construites à l'aide d'un groupe simple donné de relations primitives, intermédiaires ou ultimes.

D'après cela, un semblable système possède un groupe unique d'intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales choisies de manière à assurer la concordance numérique des relations primitivo-ultimes. Car, ainsi que nous l'avons vu au n^ 20, tout se réduit alors à démontrer la convergence des développements des intégrales hypothétiques, qui se trouve assurée par la proposition précédente.

34. Tout système immédiat, régulier et non linéaire, possède un groupe unique d'intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales choisies de manière à assurer la concordance numérique des relations primitivo-ultimes .

Sauf aux alinéas III et VI, nous supposerons simplement que le système différentiel considéré est immédiat et non linéaire, sans nous inquiéter de savoir s'il est régulier ou non.

M. el R. 6

38 MÉRAY ET RIOUIER.

I. D'un système immédiat et non linéaire quelconque, nous déduirons d'abord un système linéaire par le procédé suivant :

1° g désignant toujours le nombre des fonctions inconnues et h celui des variables indépendantes, adjoignons aux fonctions inconnues du système donné de nouvelles fonctions inconnues en nombre égal à celui des diverses dérivées paramétriques; écrivons dans les cases vides du Tableau de nouvelles équations différentielles exprimant l'égalité entre les nouvelles fonctions inconnues et les dérivées paramétriques des anciennes; remplaçons enfin dans toutes les équations proposées les diverses dérivées paramétriques par les nouvelles fonctions inconnues qui leur correspondent : nous obtiendrons ainsi un groupe (E) composé de gh équations.

Par exemple, si le Tableau du système immédiat proposé contient la colonne

du dz

du ds

les équations qu'il faudra écrire dans les cases vides de la colonne en question seront

du ,

di ^"-

dy «r.

dt «"

OÙ w^, lîyy u^ désignent de nouvelles fonctions inconnues.

1^ Dans le système (E) évidemment immédiat (puisque les seconds membres ne contiennent plus aucune dérivée), toutes les variables

SUR LA CONVERGENCE DES DÉVELOPPEMENTS DES INTÉGRALES ORDINAIRES. Sp

sont devenues principales par rapport à chacune des anciennes fonctions inconnues, et l'on peut, pour chacune de ces dernières, diviser en trois groupes les dérivées complexes du second ordre : les unes sont prises par rapport à deux anciennes variables principales de la fonction considérée, les autres par rapport à une ancienne et une nouvelle, les autres enfin par rapport à deux nouvelles, et à chacune de ces dérivées correspond, comme on sait, une condition de passivité (22). Parmi ces diverses conditions, nous prendrons seulement celles qui correspondent aux dérivées de la seconde et de la troisième espèce, et nous les considérerons comme de nouvelles équations différentielles que nous adjoindrons aux précédentes. En prenant le même exemple

que ci-dessus (i**), et désignant par . ^ L • • les conditions de

passivité qui correspondent respectivement aux dérivées complexes

j— ,-> •••» la fonction u nous fournira ainsi deux groupes de nouvelles équations différentielles. L'un d'eux contiendra les équations

ayant respectivement pour premiers membres

duj^ du^ diîy du'y du'i da)^

dz ds dz ' ds dz ds ^

et l'autre contiendra les équations

[s^^ij' [r/x^fj' U/^4>'J

qui devront être écrites de la manière suivante : considérant les équations ajoutées a la colonne {u) dans l'ordre relatif (23) où elles se trouvent quand on parcourt cette colonne de haut en bas, on formera les conditions de passivité dont il s'agit en comparant d'abord la dernière de ces trois équations aux deux précédentes, puis l'avantdernière à la précédente, et en ayant soin de choisir pour premiers membres les dérivées de lî^ dans le premier cas, celles de u^. dans le

second; on obtiendra ainsi

, p , du't du' du't du y du'y du^

/ 2 5 ) — — m - ) • m* ^ ) — ~ zz: — •

djc dt dy dt dx dy

3® Cette suite d'opérations, répétée en considérant successivement toutes les anciennes fonctions inconnues, fournira deux groupes (F), (K) de nouvelles équations différentielles, composés, le premier d'équations analogues à (24), et le second d'équations analogues à (25). En désignant par (G) ce que deviennent les équations (F) lorsqu'on en élimine, au moyen des équations (K), les dérivées figurant dans les premiers membres de celles-ci, on obtient en définitive un système différentiel composé des trois groupes

II. Étant donné un système immédiat non linéaire , le système (2,6) qu'on en déduit à l'aide du procédé ci-dessus indiqué (I) est immédiat et linéaire.

Si le système dont il s'agit est immédiat, il est évidemment linéaire (27).

Pour démontrer qu'il est immédiat, écrivons ses diverses équations dans les cases d'un quadrillage rectangulaire d'après les dérivées qui figurent respectivement dans leurs premiers membres. Il est bien facile de voir comment les cases pleines et vides se trouvent alors disposées dans les colonnes qui correspondent aux nouvelles fonctions inconnues : si le Tableau du système proposé contient par exemple la colonne (22), nous aurons comme cases vides dans la colonne {u\) celle qui correspond à la ligne (/), dans la colonne (w^.) celles qui correspondent aux lignes (7) et {t), dans la colonne (a^) celles qui correspondent aux lignes (a?), {y) et (/). Et en rangeant ces trois colonnes dans Tordre suivant :

du^

du,

du\

du'^

du]

du' du'

dUy

du:^

du.

il est clair que, dans une ligne horizontale quelconque du Tableau partiel ainsi obtenu, toute case située à droite d'une case vide est également vide. Supposons maintenant que, dans le système immédiat pro-> posé, toutes les variables paramétriques de la fonction u le soient aussi pour une autre fonction v, et que le Tableau de ce système contienne par exemple les deux colonnes

dz '••■

du ds

Alors les trois Tableaux partiels

djL-

duL,

duf

du'

du', ~d7

du'f

dv\ dVj,

dv\

d\''f dz

dv'y ~di

(iV)

1 rf..;

d\>[^ ds

1 di\

dS^'y

dv'y

di\ 7h

d\>'f dv'g

dv'y dz

d^ dz

du y

dUy

~ds

dv'y

dv,.

dv[^ I dy i

dv'r 7h

rlu^ dz

(lu^ ds

dv'.,

dont les colonnes se trouvent associées et rangées suivant une loi facile k apercevoir, jouissent de la même propriété que le Tableau (27).

Cela posé, je dis que le système auxiliaire (26) est immédiat.

Si l'on considère, en effet, le Tableau total, dans les cases duquel nous avons supposé écrites les diverses équations de ce système, les colonnes qui correspondent aux anciennes fonctions inconnues sont entièrement pleines et ne contiennent dans leurs seconds membres au-

cune dérivée, quelle qu'elle soit; les colonnes qui correspondent aux nouvelles ne contiennent dans leurs seconds membres aucune dérivée des anciennes. Examinons alors quelles dérivées des nouvelles fonctions inconnues tigurent dans ces derniers seconds membres.

Soient w une fonction inconnue quelconque du système proposé, et (22) la colonne correspondante : puisque le système proposé est immédiat, les seconds membres des équations de cette colonne pourront

contenir les dérivées -r^ zt-> -j:^ et nulle autre dérivée de u. Dès lors,

aœ dy dt

les équations des groupes

\dydsy

ydx ds\

pourront contenir dans leurs seconds membres les dérivées des groupes respectifs

duj^ du y du\ ~dt' ~dt' 'dï'

duj, duy duf dy dy dy ^

du'x du y du\ dx dx dx

et nulle autre dérivée des fonctions

Finalement, si, dans les équations (3o), on tient compte des équations (25) et qu'on leur adjoigne ces dernières, les colonnes (w^), (w^). (f/^) ne pourront contenir dans leurs seconds membres, comme dérivées des fonctions (30, que celles des groupes respectifs

du!^ du y du\ 'df' 'dT^ ~dt'

du[^ du y duy^ 'dy' ~dy' ~di'

duj. du'x du^ dx dy dt

En jetant alors les yeux sur le Tableau partiel (27), on se convaincra que les conditions requises pour le caractère immédiat du système auxiliaire se trouvent de ce côté satisfaites.

Soient maintenant u eii^ deux fonctions inconnues quelconques du système proposé. Si quelque variable principale de ^ y est paramétrique pour u, les seconds membres des équations de la colonne (u) dans le Tableau correspondant ne contiendront aucune dérivée de^; par suite, dans le Tableau du système auxiliaire, les seconds membres des équations des diverses colonnes (u') ne contiendront aucune dérivée des diverses fonctions /. Supposons, au contraire, que toutes les variables paramétriques de u le soient pour ç dans le système proposé, et que les deux colonnes correspondantes soient, par exemple, celles du Tableau partiel (28). Les seconds membres de la colonne (u) pouvant

, . , 1 » • . dv dv dv dv . ,, . j ^ • ' j 1

contenir les dérivées :>-? :7-» ^-^ :,, ^ et nulle autre dérivée de v, les

dx dy ds dt

équations des groupes (3o) pourront contenir dans leurs seconds membres les dérivées des groupes respectifs

di>'y

rf^

dt'

dy'

dv'y

dy'

dv\

di'',.

dy'

di>'^

dv'y

dv'f

dx '

dx ^

et nulle autre dérivée des fonctions

(32) V'^y Vyy V's, V\.

Finalement, si, dans les équations (,3o), on tient compte des équations

dû "

- dt'

dy'

dv'y

- dt'

di>\ dv'^ dx dt

dvL

d^'s dx

- ds '

d^'y . dv', dx dy

et qu'on leur adjoigne ces dernières, les colonnes (a'^\ (w^.), KMx) "^^ pourront contenir dans leurs seconds membres, comme dérivées des

fonctions (3?.), que celles des groupes respectifs

dv'^ dv\. dK\,

dï' dv^

dv'

dv\.

dv'

dy ' ds

dt '

En jetant alors les yeux sur les trois Tableaux partiels (29), on se convaincra que les conditions requises pour le caractère immédiat du système auxiliaire se trouvent encore satisfaites de ce côté, ce qui achève la démonstration du point visé par le présent alinéa.

III. Le système auxiliaire (26 ) est régulier en même temps que le proposé.

Si, pour fixer les idées, on considère le système régulier (non linéaire)

(m) (v) (iV) {p)

du dx

dv dx

dx * ' *

du dy

dv dy

dy '"

il suffira, pour se convaincre que le système auxiliaire est également régulier, de ranger les colonnes de son Tableau dans l'ordre suivant :

(a), (r), {w), (p); {u',), {v,), (w,), {p',); «), {^z)y (p'z); (p'y); ip'x)'

Les lignes étant rangées, comme ci-dessus, dans Tordre (j?), (7), M. (H U. 7

46 MÉRAY ET RlQUfER.

(:;), (s), chaque colonne parcourue de haut en bas se composera alors d'une file de cases pleines suivie d'une file de cases vides, et dans les divers groupes de colonnes indiqués ci-dessus les nombres de cases pleines seront respectivement

Si l'on considère au contraire le système irrégulier

djc

dv ~dv

les colonnes (w^.), {v^) offriront dans le Tableau du système auxiliaire les mêmes dispositions respectives de cases pleines et vides que les colonnes (w), {v) du Tableau ci-dessus; le système auxiliaire sera donc, comme le proposé, nécessairement irrégulier.

IV. Considérons, pour.fixer les idées, le système immédiat (non linéaire)

zr:U

du dv dv

du . / du dv dv .

dv^ dx

dont les équations doivent être disposées comme ci-après :

il)

du (Le

dv dx

du dy--

Le système auxiliaire défini à Talinéa I est alors

du dx

du dy

dv dx

— U;r(jr, /, Zy U, V, «1, Vyy T 1 ) ,

= Uy {X, V, 3, W, i', «1, t/., P'-),

du 'dl

\ dz

du.

dVy

dv'.

e/Uo. r/Uj. , e/U^ , d\}^ du', di};^ dv'y //IJ^ dvK

dz du ^ d\' ^ du', dz dv\. dz dv, dz

dV W

, dUy du\ d\]y dvy dl^Y dv.

du. dz dv\. dz dv'. dz

dv -' dv'y dy ' dv'. dz

dW„ , dV^ , dV^ dv'y rfV, dv.

^// - ' dv - ^ dv'y dz ' dv'^ dz '

dv. dv'y dy ~ ^j '

48 MÉRAY ET RIQUIRit.

et ses équations doivent être disposées de la manière suivante :

du dx

du.

dv'.

dv'y

dy----

dy y

du', dy

dv. dv\.

dv dz

du ,

Cela posé, site système immédiat Ci [\) possède un groupe d'intégrales

ordinaires

satisfaisant aux conditions initiales

^uz=zu(z) pour j7 — ^0, j— jo,

/ V --o{y,z) pour x — x^,

le système auxiliaire (39) possède le groupe d'intégrales ordinaires

dV , dV

(40 u—\]{x,y,x), vz=y(x,y,z), «1 — — , * r = ^y ' ' ^ ^ dz satisfaisant aux conditions initiales

V nr

?(jo, -0) )

pour x — Xq, y—yo, 5zr