V. =rz

pour J7 pour X

Xq,

H est (l'abord évident que les fonctions (4i) sont des intégrales ordinaires du système (Sg). D'autre part, en considérant les fonctions U, V pour des valeurs de x, y, z suffisamment voisines de x„, y^, z^, groupant d'une manière convenable les termes de leurs développements, et tenant compte des conditions initiales (4o), on a les iden-

tités

U =u(c) -{- (j?~ j?o)A-h (y - - ro)B,

OÙ A, B, C désignent certaines fonctions de x, y, z olotropes en x^, Jo» -0- Oïï ^" déduit par la différentiation les identités

^U dj , v^A , ,é/B

dV d^ ^ dC

dy ^ dy ^ ^ dy^

d\ do , ^C

qui, jointes aux précédentes, donnent bien pour les intégrales (4i)les conditions initiales (^2)

Réciproquement y si le syslème (Sq) possède un groupe dUnlégrales ordinaires satisfaisant aux conditions initiales (42)» les valeurs de w, v qui y figurent forment un groupe d intégrales ordinaires du système (34) satisfaisant aux conditions initiales ( 4<>)-

En effet, il résulte immédiatement do la nature même du système (39)que tout groupe d'intégrales ordinaires y est de la forme (4 1), et que les valeurs de m, {^ figurant dans le groupe sont des intégrales ordinaires du système (3^|).

Maintenant, les trois dernières des conditions initiales (42) fournissent les identités

d{] dj . ■ â M>

Vz "^ d'z "^ ('^-•^o)A-r (y-/o)B,

où A, B, C, D, H désignent certaines fonctions dex.y, z olotropes en ^o»Vo, ^0- On peut poser, d'autre part,

(^^^j \ U--^u,(^)4-(:r-xjP-f-(7-ro)Q,

)0 MKliAY ET RIQUIER.

OÙ u,, o^, P, Q, R désignent de nouvelles fonctions olotropes pour les

valeurs initiales des variables, et Ton en déduit par la différentiation

les identités

dU dj, , ,dV , ,dQ

//*x ^V do, . .dR

dy dy dy

■ ,- — -^H-- I .r — .roi -7-' dz dz dz

La comparaison des relations (43) et (45) fait voir que leurs seconds membres sont respectivement égaux/ quels que soient x, y, z\ on en déduit que les relations

dj, d\j ^/<p, do \ ^9

dz dz^ dy dv^

-ir-rn

sont vérifiées, la première et la troisième quel que soit z, la deuxième quels que soient y et z, La première de ces identités montre que la différence

est indépendante de s; la deuxième et la troisième montrent successivement que la différence

est indépendante de j, puis de -(8*). Les différences (4O), (4/) se réduisent donc respectivement à des constantes. Si l'on attribue alors a X, y, z, dans les formules (44)» l^s valeurs particulières ^r^, j^, z^, et que Ton tienne compte des deux premières conditions initiales (4^)» on voit immédiatement que les constantes dont il s'agit sont nulles. Les différences (4G), (47) sont donc l'une et l'autre identiquement nulles, ce qu'il suffisait de prouver.

V. Si la concordance numérique des relations primitii^o- ultimes (ou primitives) a lieu dans le système immédiat (34 ) relativement aux conditions initiales (4^)» ^H^ ^ H^u dans le système auxiliaire (39) relativement aux conditions initiales (42), et réciproquement.

SIR LA CONVERGENCE DEvS DEVELOPPEMENTS DES INTEGRALES ORDINAIRES. Il

Pour abréger le langage, quand nous aurons îi considérer les nouvelles fonctions inconnues

et leurs dérivées principales ou paramétriques de tous ordres

^«//l- d^Vy d^v,

lix^ dy? dzr dj'^ ^r? dz^ da-"" dy? dz^

nous appellerons souvent dérivées correspondantes de w, v les dérivées

du dv dv

dz^ dy^ dz^

cin+if, d"-^^v ^/«^-'r

du'' dy^ dzy^' djc"" dyP^^ dzt dx^ dy^ dz"^^^

(Il faut bien se garder de confondre entre elles les deux locutions déns^ées correspondantes et dérà'ées semblables.)

(a) Occupons-nous d'abord de la proposition directe.

Comme dans un système immédiat quelconque le groupe des formules (F) équivaut entièrement à celui des formules primitives (16, :>")» nous sommes ramenés à supposer que les relations du groupe (A), obtenu par la réunion des deux précédents, s'accordent dans le système proposé (34) relativement aux conditions initiales (/|o), et nous prouverons que les formules primitives du système auxiliaire (3()), combinées avec les conditions initiales (/\2)y ne peuvent alors fournir :

i*' Pour les fonctions u, v et leurs diverses dérivées, aucune valeur initiale si ce n'est celles qu'on obtient pour les mêmes quantités à l'aide des formules (A) du système (34). combinées avec les conditions initiales (4o);

2" Pour les fonctions//!, v\., v\ et leurs diverses dérivées, aucune valeur initiale si ce n'est celles qu'on obtient de la même façon pour les dérivées correspondantes de //, v.

Tout d'abord, et par la nature même des conditions initiales imposées tant aux intégrales du système (34) qu'à celles du système(39), les fonctions £/, v' ont de part et d'autre la même valeur initiale, et les fonctions "s» ^V ^s ^^^^ respectivement pour valeurs initiales dans le système (39)

celles que possèdent dans le système (34) les dérivées -p^ -y- y ^-

32 MERAY ET RIQUIEU.

En outre, ainsi que nous allons le constater, les dérivées de ù^ relatives à la seule variable s, les dérivées de Vy. relatives aux seules variables y et Zy et les dérivées semblables de v^ ont respectivement pour valeurs initiales dans le système (Sg) celles que possèdent dans le système (34) les dérivées (paramétriques) correspondantes de w, v. Effectivement, les dérivées considérées de m^, i^y, v^ peuvent être soit paramétriques, soit principales : pour les premières, il suffît encore de comparer les conditions initiales; pour les dernières, les expressions primitives sont toutes fournies par la relation (38) et par celles qu'on en déduit à l'aide de différentiations convenables, et notre remarque, évidente lorsqu'il s'agit du genre i, se vérifie de proche en proche, en passant d'un genre au suivant dans un ordre quelconque.

Si l'on considère maintenant les dérivées de a relatives à la seule variable z et les dérivées de v relatives aux seules variables jet j3, les valeurs initiales que leur assignent les formules primitives dans le système (Sg) sont préciséaient les mêmes que ces dérivées possèdent dans le proposé en vertu des conditions initiales (^4^) : c'est là une conséquence immédiate de la remarque qui précède, si l'on observe que les expressions primitives des dérivées dont il s'agit sont toutes fournies par les relations (36) et celles qu'on en déduit h l'aide de différentiations convenables.

Il nous reste à considérer les dérivées de u, li, qui contiennent dx ou dy au dénominateur de leur notation, et les dérivées det^, i^'^,, sj^ qui contiennent dx de la même manière. Or la comparaison de la formule (35^ aux formules (33), puis des formules (37) aux formules

» d-a dX^r d[]:rdtt dllrdv dll^ d'-u d{]^ d^v diS^ d^v

dxdz dz du dz dv dz ,/du\ dz^ ,(dv\ dy dz Jdv\ dz'^^

dUt d{]y rWydu dVydv d{]y d*u dUy d^ d{]y dU^ dv dz dz du dz d^' dz ' j[dii\ dz* . j .. -j . j . . v . .>

"m ii)"'"" "i^""

d'ç d\' d\^,, dV:^dv d\,r d'-v dVr d*-

dxdy dy du ^ d\' dy ' j(^^'\ dy^ ' ./^*'\ dy dz

^ \dy) \dz)

d'-v dV,. dV,.du dVrdv dV, d^v dV^ d^v

dx dz dz "^ du dz "^ dv dz^ ,(dv\ dv dz ' j/d{>\ dz*

qui constituent les relations ultinoes de seconde classe du système proposé et figurent à ce titre dans le groupe (A), fait voir immédiatement que les deux points ci-dessus énoncés (i®, 2°) se trouvent vérifiés, en ce qui concerne les dérivées restantes, si Ton se borne à considérer pour le premier point les dérivées du premier ordre des anciennes fonctions inconnues, et pour le second point les dérivées du premier ordre des nouvelles. Tout se réduit donc à faire voir que, en les supposant vérifiés jusqu'à Tordre A inclusivement, il en est encore de même dans Tordre k -h \.

Occupons-nous d'abord du premier point. Si Ton considère dans Tordre k -4- j les dérivées de // qui contiennent dx ou dy au dénominateur de leur notation et les dérivées de v qui contiennent dx de la même manière, on obtient, relativement au système (39), un premier groupe d'expressions primitives de ces dérivées en exécutant de toutes les manières possibles ^ différentiations sur Tune quelconque des relations (35 ). D'ailleurs, les expressions primitives des mêmes dérivées relativement au système proposé s'obtiennent en différentiant parallèlement les relations (33). Comme les formules (35) reproduisent les

formules (33) par la simple substitution de ^) ^' 5^ ^ "«♦ ^'x* ^^' ''

est clair que, pour passer du premier groupe d'expressions primitives au second, il suffit de remplacer les nouvelles fonctions inconnues et leurs diverses dérivées par les dérivées correspondantes de m, ^. Enfin, les expressions primitives du premier groupe ne contenant aucune dérivée d'ordre supérieur à i, il résulte de ce qui est supposé jusqu'à Tordre k inclusivement que les deux groupes fournissent les mêmes valeurs initiales pour les dérivées considérées.

On obtient, dans le système ( 39), un second groupe d'expressions primitives des mêmes dérivées en exécutant i difl^érentiations convenablement choisies sur Tune ou l'autre des relations (36). Les seconds membres des formules ainsi obtenues sont des dérivées principales d'ordre k de //^, r^, v'^, à chacune desquelles les formules primitives du système (39) assignent, par hypothèse, comme valeur initiale unique celle que les formules (A) du système (34) assignent à la dérivée correspondante de u ou ^. On obtient donc encore, pour les dérivées de a,

^qui figurent dans les premiers membres, les mêmes valeurs initiales M. et R. 8

que donnent les relations (A) du système proposé, et le premier point se trouve ainsi entièrement démontré en ce qui concerne les dérivées de l'ordre k -h i.

Achevons de même la démonstration du second point. Pour les dérivées de u^ qui contiennent dx ou dy au dénominateur de leur notation, et pour les dérivées de i'^, v^ qui contiennent dx de la même manière, les expressions primitives sont fournies soit par les formules (37) et celles qu'on en déduit à l'aide de différentiations quelconques, soit par la formule (38) et celles qu'on en déduit à l'aide de différentiations convenables. Nous désignerons respectivement par i^"') et (X') ces deux groupes de relations, et nous nommerons (W) le groupe obtenu en adjoignant aux formules (48) toutes celles qu'on en déduit à l'aide de différentiations quelconques. Le groupe {W) est entièrement contenu dans le groupe (A) du système proposé, et, pour passer des formules (W) aux formules (^''), il suffît évidemment de remplacer z/^, Çy.^ Vj, et leurs dérivées de tous ordres par les dérivées correspondantes de w, {^. En outre, si, parmi les formules (^"O et (X'), on considère celles dont les premiers membres sont des dérivées d'ordre k-hi, les dérivées d'ordre égal contenues dans leurs seconds membres appartiennent exclusivement à w^, f^^, i^'^ et sont de genres nécessairement inférieurs à ceux des premiers.

Cela posé, prenons parmi ces dernières formules celles dont les premiers membres sont à la fois de l'ordre ^ -h i et du premier genre : en vertu des remarques que nous venons de faire et de ce qui a été démontré antérieurement ou supposé, il est clair qu'elles donneront pour chacun des premiers membres dont il s'agit la valeur initiale unique que les relations (A), combinées avec les conditions initiales (4û)» assignent dans le système proposé à la dérivée correspondante de u ou r. On passera de même du premier genre au second, puis au troisième, et ainsi de suite jusqu'au genre ^ h- i de l'ordre A: h- i, ce qui achèvera la démonstration du second point pour l'ordre en question, et, par suite, celle de la proposition directe énoncée au début de l'alinéa V.

(b) Pour démontrer la réciproque, nous observerons tout d'abord que, en vertu des formules primitives du système (Sg), supposées concordantes relativement aux conditions initiales (42)» les fonctions ui.

r^., ^'^ et leurs dérivées de tous ordres ont respectivement, dans le syslènoeen question, les mêmes valeurs initiales que les dérivées correspondantes de u, v; car au nombre des relations primitives figurent les formules (36) et celles qu'on en déduit par des différentiations quelconques.

Cette remarque, combinée avec la nature des conditions initiales respectivement imposées aux intégrales hypothétiques des deux systèmes, fait voir immédiatement que les fonctions w, ^ et celles de leurs dérivées qui sont paramétriques relativement au système (34) admettent chacune la même valeur initiale de part et d'autre.

Finalement, si l'on veut se convaincre qu'il en est de même pour les dérivées principales de w, v, il suffira de différentier parallèlement les formules (33) et (35), et de raisonner de proche en proche en passant d'une classe à la suivante.

VI. Le système immédiat (3/|) étant supposé régulier, et la concordance numérique des formules primitivo-ultimes étant supposée y avoir lieu relativement aux conditions initiales (4o), le système immédiat et linéaire (39) (II) sera lui-même régulier (III), et la concordance numérique des formules primitivo-ultimes y aura lieu relativement aux conditions initiales (42) (V). Ce système admettra donc un groupe d'intégrales ordinaires et un seul répondant aux conditions initiales (4^) (33), et par suite (IV) le système (34) admettra un groupe d'intégrales ordinaires et un seul répondant aux conditions initiales (4o).

35. La proposition du numéro précédent subsiste pour un système immédiat, semi-régulier et non linéaire.

Les raisonnements sont tout à fait analogues à ceux que nous venons de faire.

I. Considérons un système immédiat (a) déduit d'un autre système immédiat (S) par la suppression de certaines équations différentielles, et supposons, pour fixer les idées, que le système (a) soit représenté par le Tableau :

dv dx

dsv dy

dz '"

OÙ les cases vides entourées d'un double cadre correspondent aux équations supprimées de (S).

Le système linéaire déduit de (œ) suivant le procédé indiqué au numéro précédent (I) se compose, comme on sait, de trois groupes d'équations que nous avons alors respectivement désignés par (E), (G), (K) : de ces trois groupes nous retiendrons seulement les deux premiers (E), (G), et nous nommerons (œ') le système différentiel formé par leur ensemble. En écrivant les diverses équations de ce dernier dans les cases d'un quadrillage rectangulaire d'après les dérivées qui figurent respectivement dans leurs premiers membres, et entourant ensuite certaines cases vides d'un double cadre, on obtiendra le Tableau :

iu)

(^) ZjZ ZJZ —

du , dx-""^

dw dx

dw'.

dx "•••

dw'g

dx -'•■

djr ^

do .

dw dj~---

dw'.

dy -

dw, dy

dz '"

dv dz

dw , dz "^'*'-

du'y

dz -""

du's

dvy

dz '"

du ,

dv ,

dw , ds="''

Dans chacune des colonnes (m^), (m!^), (a^) du Tableau (5o), les cases pleines, les cases vides entourées d'un simple cadre et les cases vides entourées d'un double cadre présentent la même disposition relative que dans la colonne (u) du Tableau (49); il en est de même pour les colonnes (^^), (v^) du premier Tableau par rapport à la colonne (ç^) du second, et ainsi de suite.

IF. Le système (œ') est immédiat et linéaire, et il en est de même du système (S') obtenu en écrivant dans les cases vides doublement encadrées du Tableau (5o) des équations différentielles dont les seconds membres aient une forme cons^enablement choisie (^par exemple se réduisent tous à

zéro).

III. (1!) est régulier ou irrégulier en même temps que (L), et (a') en même temps que (a); d'où résulte que (œ') est semi-régulier toutes les/ois que (<j) Jouit de cette propriété.

IV. Si le système (a) possède un groupe d'intégrales ordinaires

satisfaisant aux conditions initiales

/ a m j(ar, j, .ç) pour z=^Zq;

(5l) |rr=9(j,5) )) X = Xq,Z~Zo;

{ w — ^{ZyS) )) x — x^,y-:y^,,

le système (^') possède le groupe d'intégrales ordinaires

, dV

dU , dV.

dy * ds

, dV

'y-dy'

. d\ • dx

, dW "'^ dz '

^^' ds '

satisfaisant aux conditions initiales

^{ZoySo) dj •

dj Uy = -T- > pour z

pour X — XQy y — jKo> z — ^q, s — 5^;

ch ds

do \

dy\

d\ \ dz

d^ ds

pour X =^Xq^ z

'Oï

pour x=^xo, y—y^

Réciproquement^ si le système ( a') possède un groupe d'intégrales ordinaires satisfaisant aux conditions initiales (j'i), les valeurs de m, v^ w qui y figurent forment un groupe d'intégrales ordinaires du système (<t) satisfaisant aux conditions initiales (5 1 ).

V. Si la concordance numérique des relations primitii^o-ultimes {pu primitives) a lieu dans le système (a) relatii^ement aux conditions initiales ( v>i), elle a lieu dans le système (a') relativement aux conditions initiales (52^

VI. En rapprochant du n** 33 les alinéas précédents» on obtient immédiatement la proposition à démontrer.

36. En résumé donc, tout système différentiel jouissant de la double propriété d'être : i^ immédiat; a® régulier ou semi-régulier^ possède un groupe unique d'intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales choisies de manière à assurer la concordance numérique des relations primitivo-ultimes.

SLR LA CONVERGENCE DES DÉVELOPPEMENTS DES INTÉGRALES ORDINAIRES. Jt)

Il en résulte qu'un semblable système^ lorsqu'il est passif, possède un groupe unique d'intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales ^ arbitrairement choisies.

37. L'intégration de tout système immédiat non linéaire peut se ramener à celle d'un système immédiat, mais linéaire; si l'un de ces systèmes est passif, l'autre l'est également, et si l'un d'eux est intégrable sous des conditions initiales arbitraires, le second Jouit de ta même propriété.

Le système linéaire auquel nous faisons ici allusion est précisément celui dont le mode de formation a été indiqué au n° 34 (I), et il est tout d'abord évident que la recherche des intégrales ordinaires du système proposé se ramène à celle des intégrales ordinaires du système ainsi obtenu. Il reste à démontrer que ceux-ci jouissent bien Tun par rapport à l'autre de la double propriété énoncée. Pour fixer les idées, nous raisonnerons sur les systèmes (34), (39).

I . Si l'on désigne par X(z), [t'(^) deux fonctions olotropes en s =: z^, et par v(y, :;) une fonction olotrope en y =^0» ^ = ^0* ^' existe deuafonctions ^(s), ?(j^»3), olotropes pour ces valeurs particulières, et satisfaisant respectivement aux deux systèmes de conditions

(54) ^^v(y,z), j^^J^^^^(5), 9(jo,^o) = i'o,

ou Uq, Vq désignent deux constantes quelconques.

Effectivement, chacune des trois équations différentielles

dv(z) ^, , dy{z) , , do(Y,z) . .

(où les fonctions u, jç^, o sont pour le moment inconnues) constitue à elle seule un système immédiat, régulier et passif. La première admet donc une intégrale ^(2), olotrope en z^ et s'y réduisant k u^; h se-

conde une intégrale /,(^) olotrope en z^ et s'y réduisant à v^^; la troisième une intégrale ^(r, z), olotrope en j"o, z^ et se réduisant à 7,(5) pourj==y^. Des deux fonctions ^(z), 9(j>-) ainsi déterminées, la première satisfait évidemment aux conditions (53), et il est facile de voir que la deuxième satisfait aux conditions (54). En effet, pour des valeurs de j, z suffisamment voisines de j^» ^o» ^^ ^ l'identité

9 ( V, z) — x(z) 4- (j — jo)A,

où A désigne une fonction de j, z olotrope en y^, z^. Il en résulte d'abord

puis

et enfin

= fx(5).

H. Si le système proposé (3^) est passif, ou bien s'il est intégrable sous des conditions initiales arbitraires ^ le système linéaire (3c)) Jouit de la propriété correspondante.

Effectivement, soient

i pour X = xo, 7 — /o» - -- -0;

(55) < uiz=z'k{z) ]

pour j? = j7o, y—yo'y

v'y i=:v(y,z) pour jr ^z^x^

des conditions initiales arbitrairement choisies pour les intégrales ordinaires du système (Sg), et ^(z), (p(j, 5) les deux fonctions définies à Talinéa précédent.

Si l'on suppose en premier lieu que le système proposé (34) soit passif, la concordance numérique des relations primitivo-ultimes y a lieu par rapport aux conditions initiales (4o)' elle a donc lieu (34, V) dans le système (39) par rapport aux conditions initiales (42), qui

SUR LA CONVERGENCE DES DÉVELOPPEMENTS DES INTÉGRALES ORDINAIRES. 6l

peuvent s'écrire sous la forme (55). Il en résulte que les deux expressions ultimes de chaque dérivée complexe du second ordre s'accordent numériquement dans le système (Sp), quelles que soient les conditions initiales imposées à ses intégrales, ce qui suffît, comme nous l'avons vu (22), pour que le système dont il s'agit soit passif.

Si l'on suppose, en second lieu, que le système (34) soit intégrable sous des conditions initiales arbitraires, il l'est en particulier sous les conditions initiales (^o); le système (89) est donc intégrable (34, IV) sous les conditions initiales (42) ou (55), c'est-a-dire sous des conditions initiales arbitraires.