III. Réciproquement

Soient u(s), <p(y, z) des déterminations initiales arbitrairement choisies pour les intégrales ordinaires du système (34).

Si Ton suppose passif le système (39), la concordance numérique des formules primitivo-ultimes y aura lieu relativement aux conditions initiales (42), et par suite (34, V) elle aura lieu dans le système (34) relativement aux conditions initiales (4o)- Ce dernier système est donc passif, en vertu du même raisonnement que plus haut.

Si l'on suppose enfin que le système (39) soit intégrable sous des conditions initiales arbitraires, il le sera en particulier sous les conditions initiales (42)» et, par suite (34, IV), le système (34) sera intégrable sous les conditions initiales (4o).

38. La réduction à quelque système linéaire d'un système donné qui ne l'est pas a été tout à l'heure utilisée comme artifice de démonstration (34); mais il convient, selon nous, de lui attribuer une portée infiniment plus grande. On remarquera en effet que l'on ne saurait, d'équations finies données , déduire des équations différentielles quelles qu'elles soient, sans passer par les relations essentiellement linéaires que la différentiation fournit tout d'abord. Ce fait autorise à penser que les équations linéaires forment une étape non moins essentielle dans la marche inverse qui conduit d'un système d'équations différentielles données à leurs intégrales.

M. et R.

MKRÀY ET RIQUIER.

Systèmes immédiats qui ne sont ni réguliers ni semi-réguliers.

39. Soient [i, /] un système partiel, immédiat et linéaire, et [I, L] le système de même forme défini à Talinéa II du n** 29. Si le premier .appartient à la catégorie des systèmes différentiels visés par l'énoncé du n"^ 29 ou par celui du n° 30, on peut, comme nous l'avons vu, disposer des constantes (lo) de manière à réaliser à la fois dans le second toutes les conditions énoncées à l'alinéa III, et de là résultent successivement le théorème général du n® 33 et celui du n^ 36. Mais, dans le cas contraire, il peut fort bien arriver que la détermination dont il s'agit cesse d'être possible; elle le sera toujours à la vérité si, dans les cercles de rayons r et de centres ^o» Jo» •••» "o» ^'o» ••• que nous avons alors considérés (29, III), les coefficients des diverses dérivées paramétriques conservent des modules suffisamment petits, mais la démonstration générale n'en tombera pas moins en défaut. Cela induit à penser que dans les systèmes immédiats qui ne sont ni réguliers ni semi-réguliers ^ V existence des intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales données est incertaine, même en supposant {ce qui est de toute nécessité) que ces dernières assurent la concordance numérique des relations primitivo-ultimes.

Et, par le fait, il existe des systèmes de cette espèce quun choix cornuenahle des données initiales, tout en assurant la concordance dont il s* agit, laisse dépourvus des intégrales correspondantes.

L'exemple très simple que nous allons traiter en fournira la preuve.

40. En appelant H„, H^, deux constantes réelles et positives, nous considérerons le svstème

(iO

du „ du

dx ^'^«'Vy

dy-

,- dv

dx

immédiat, passif et linéaire, mais qui n'est évidemment ni régulier ni

semi-réguUer. Le système linéaire semblable construit, comme nous l'avons indiqué au n" 29 (II), est ici

dx (3,*^ a, dy

-7- ^ixS-^B — S-j-

dy Pj* «i dx

OÙ désigne la fonction

La démonstration du n°29 (111) sera applicable si l'on peut disposer des constantes e, a^ , a^, de manière à avoir simultanément

c'est-à-dire

€<i, £~>H„, fias ^-

£<i, — < — <ïr

Il résulte de là que le produit H„H^ doit être inférieur à e* et, par suite, à Tunité. Réciproquement, $i Von a H„H^< i, on peut satisfaire aux inégalités (67) par une infinité de valeurs de e, a^, aj, et le système (:>6) possède un groupe d'intégrales ordinaires répondant à des déterminations initiales arbitrairement choisies.

41. Mais, si l'on a au contraire H„H^>i, la démonstration dont il s'agit cesse d'être applicable, et nous allons effectivement prouver qu'en supposant, pour plus de simplicité, H„= H^= H, le système

du „ du dx ' dy

dv , dv

dy dx

ainsi obtenu ne possède, pour H > i , aucun groupe d* intégrales satisfaisant aux conditions initiales

( u = y pour .r = o,

( r = j: pour / = o.