I. On aperçoit d'abord sans difficulté que

valeurs initiales fournies par les relations ultimes pour les dérivées {supposées principales)

dP^'fu dp-^v

dxPdy'i'* dxP dy^ '

sont des polynômes entiers enRà coefficients positif s et entiers.

En outre, à cause de la symétrie parfaite tant du système (58) que des données initiales (Sg), les polynômes

{où p doit être supposé au moins égala i) sont nécessairement identiques.

II. En appelant 8p^g le degré en H du polynôme Up^^ (oà/> > o), on a, quelque soit l'indice /w(> i),

Car la différentiation j-;;^^!» exécutée sur l'équation de la première colonne du système (58), donne la relation primitive

dxdy'"-^ dy"'~^ dy"" ^

en remplaçant, dans le second membre, la dérivée principale ;r-^:ri

ay

par son expression ultime, et faisant ensuite ;r = y = o, on aura OU, à cause de I,