CHAPITRE II
FONCTIONS DOL'BLEMRNT PÉIUODIQUES.
5. Fonctions doublement périodiques des trois espèces. — On doit â Ilermite (') [2] la définition des trois espèces de fonctions doublement périodiques. Les fonctions de première espèce sont celles qui vérilient des relations telles que
(') OKu<,'re.s, t. II [, p. 32g.
les périodes étant désignées par 2w et aoj'. Los fonctions de deuxième espèce vérifient des relations telles que
/(.r4-2oO= !-t/(^). f^x-^ 20/ j = IX.' /(x),
IX et [J.' désignant des multiplicateurs constants qui ne peuvent pas être ramenés à i en multipliant f{x) par une exponentielle do la forme e"^, où a est constant.
Enfin les fonctions de troisième espèce véritienL des relations lollos
que
J\x -r-1 lù ) = e-'^'-+ii/( x), /( j? + 2 to' ) = eA'-.+ny ( ^ ) ,
A et A' désignant des constantes qu'on ne peut pas annuler toutes deux en multipliant /(j^) par une exponentielle de la forme e"'\ où a est une constante.
6. Fonctions de première espèce. — L'élément simple a été donné parllermite [3] qui employait les notations deJacoln où les périodes sont désignées par aK et a/K'. Prenant la fonction !!( /) de Jacobi, Hermite pose
Cette fonction zêta est alors Télément sim[)le. Soit une fonction méromorphe /(,r) aux périodes 2K et à/K' ayant dans un parallélogramme des périodes les infinis a., b, ..., / d'ordres respectits a, [3, .... A, on a
hB,Z(x- 6)4- B,-J^Z(.r—^>) + ...-:- Bo--—-Z{x-b) cix ' dxp-^
+ L,Z(a;- /)4- U-^Z(x— /)+... 4- L),-^^ Z{x—/), ilx dx'-^
C désignant une constante. La fonction Z aduiet la j)ériode 2K; elle croit de la constante — ^ quand l'argument de Z croît de \ii¥J.
Mais alors /"(^) ne change pas, car la somme de résidus
Ai+ Bi-i-.. .-!- L,
est nulle. L'intégration l f{x)dx est alors immédiate.
Le fait que cette somme est nulle est bien connu. 11 résulte du fait évident que l'intégrale de Cauchv
ff(^)
ch.
prise sur le contour d'un parallélogramme des périodes (parallélogramme dont les sommets ont pour affixes ^o, ~o + 2oj, ^o + aoj + aco', z-„-\- 20)') est nulle., caria fonction doublement périodique f{z-) prend les mêmes valeurs aux points correspondants des côtés opposés du parallélogramme.
La formule de décomposition peut être obtenue en écrivant que j)Our la fonction elliptique de t
9(0 = [Z(^ — .rj — 'L(t — x^)\f{t)
la somme des résidus relatifs aux pôles situés dans un parallélogramme des périodes est nulle. On voit l'analogie avec la fonction de t
Rf/)
considérée dans le cas d'une fraction rationnelle.
La formule d'Hermite est donnée, avec d'autres notations, dans le l^railr des fonctions elliptiques de Briot et Bouquet. Elle permet l'intégration de toute fonction elliptique.
T. Notations de Weierstrass. — Celte formule j)rend un autre aspect avec les notations introduites par Weierstrass y,\\ employées par Haljihen [G]. Soient, d'après les notations de Weierstrass, /(a?) une fonction doublement périodique de première espèce; o. w et 203' ses périodes; «, 6, . . ., / ses infinis dans un parallélogramuie des pci i()(l(;s. L'élément siuq^de sera la fonction
^^ ' n{x) n ' dx ^ '
et l'on aura
/(.■) = c + A, ri> - ») + '^= -''l ' +. . . + '''■â:^r--"--">
Quand x croît de 2 w ou aoj', Ç croît d'une constante, / (^) ne change pas parce que la somme des résidus
est nulle. La formule de décompo>ition peut être obtenue en considérant la fonction doubleuient périodique de t
[r(7— .r) — ^' — ^oj]/(0
et écrivant que la somme des résidus relalifs aux pôles situés dans un parallélogramme des périodes est mille. 13ans cette fonction de t, comme dans 9(^)5 x^ désigne une constante quelconque.
Une fois la fonction f{x) décomposée, l'intégration est immédiate car
C( .r — y. I dx = loi; i(x — 2) -4- const.
Dr iiènh'psrences . — On sait que <5"(/0, ^('O? ,P('^) dégénèrent en fonctions rationnelles quand les deux périodes 2w et 200' deviennent infinies et en fonctions circulaires quand l'une des périodes devient infinie. Dans les cas correspondants, la formule de décomposition devient la formule de décomposition des fractions rationnelles en éléments simples et la formule analogue pour les fonctions de la forme R( sin.r, qm%x).
ExciHjdc. — Soit la fonction
li(u I — p((')
cette fonction admet les trois pôles simples w = (^, « = — r, m ="0 «t leurs homologues avec les résidus respectifs i, i, — 1. On a donc
En remarquant que /(u) s'annule pour u = w, que
uto = T) , Ç ( w — p ) -I- Ç ( oj -I- p ) = a -rj ,
on voit que la constante C est nulle et l'on obtient la formule connue
pu — pu ' '^ '
Si l'on suppose oj et co' infinis
et l'on a
'îï-~ v^
formule qui donne la décomposilion de la fraction rationnelle de m,
— - — r-j en éléments simples.
ii{u^ — v^) ^
8. Définition par Poincaré d'un nombre fondamental pour la décomposition en éléments simples. — Poincaré a défini un nombre fondamental j»our la formule de décomposition [9] (§ 6) en éléments simples, voici comment. Je cite textuellement Poincaré :
« Dans tonte décomposilion en éléments simples, il y a un nombre que l'on peut ^\)[^Q\Qi^ fondamental et qui joue un rôle très important. Supposons qu'il s'agisse de décomposer en éléments simples les fonctions qui appartiennent à une certaine catégorie C. On doit supposer que la somme de deux fonctions appartenant à celle catégorie C appartient également à C; ce n'est que dans ces conditions qu'on peut être conduit à chercher une décomposition en élémonls sim|)les. 11 peut arriver que les éléuients simples fassent eux-mêmes partie de C : c'est ainsi que, dans la décomposilion des fractions rationnelles,
on est conduil à des éléments de la forme (lui sont eux-mêmes
des fractions rationnelles. Dans ce cas nous dirons que le nombre fondamental est égal à zéro. Mais le contraire |)eut arriver également. Ainsi, dans la décomposition des fonctions doublement périodiques, les éléments simples sont de hi forme A-j-logô [x — a) et ne sont jiasdes fondions doublement [xTiodiques. Mais il existe des fonctions
DECOMPOSITION DUNE FONCTION MEROMORPHE EN ELEMENTS SIMPLES. Il
(loublement périodiques (') (jui sont des sommes de deux éléments simples seulement, et à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment Unéairement. Dans ce cas, le nombre fondamental sera égal à un. En général, s'il existe des fonctions de la catégorie G, décomposables en m-\-i éléments simples seulement et à l'aide desquelles toutes les autres fonctions de la catégorie G peuvent s'exprimer linéairement, le nombre fondamental sera alors égal à /n, pourvu que m soit le plus petit nombre jouissant de cette [)ropriété. Ainsi, dans la décomposition des fonctions rationnelles do x et de y [y étant lié à x par une relation algébrique (x, y) = oJ, décomposition découverte par M. Roch, le nombre fondamental est égal au genre de la relation F = o. »
Poincaré envisage de même la décomposition de la fonction A(5) considérée dans le Mémoire [9] en éléments simples de la forme
et, dans ce Mémoire. dcHermine le nombre fondamental lelald" à celte décomposition; dans le cas du genre zéro et de la deuxième famille, on trouve pour ce iioml)rc
Dans C(^ qui suit, nous désignerons [)iir f^t le nombic tondamental de Poincaré.
9. Fonctions doublement périodiques de seconde espèce. — Une fonction doublement pi'-riodicpie de seconde espèce F(J7) admet deux niulti[)licateurs doniK's ij. et y.'. Si elle est méroinor[)he, elle peut, d'après Hermite [î2|, vive décomposée en une somme d'éléments simples relatifs aux pôles a, P, situés dans un |)arallélogramme des périodes.
Gette formule c^l (Ioihk'c dans le paragraphe 1 du Mémoire d'Hermile : Sur (luchjiics (ippliintlons des fonctions elliptiques [2|. On sait qu'Hermite, adi)[)tanl les notations de Jacobi, désigne les périodes par 2R et atK'; il considère des fonctions méromorphes F(^) vérifiant deux r('latl()ll^ de i.i Idinic
F(.r-+--2K) = ijt. F (a:-), V ( X -\- ■}. i K') = ijl' F(^ ),
( ' ) De première espèce.
;j. Cl p/ étant des constantes données. H remarqne que. en posant
H ( co ) H ( u:
f{x) a son résidu pour x^o égal à i et qu'on [)eut délcrniincr X et (j) de façon que f{x) admette les inaltiplicateurs /j. et p.'. Alors la
fonction de z
sera, quel que soit x^ nne fonction doublement périodique de 5, aux jK^riodes 2K et 2/K', car si l'on ajoute à z une période 'P{z) est multiplié par une constante et f[x — :;) pai- la constante inverse. On obtient alors d'après Hermite la formule de décomposition pour V [x) en écrivant que la somme des résidus de la fonction ^{z) relative aux pôles situés dans un parallélogrannne des périodes est null(\ Le résidu de ^{z) correspondant au pôle z ^= x est — F(jc), Ceux qui proviennent des j>ôles de Ffs) s'obtiennent comme il suit. Soit z ^= a un de ces pôles : en |)osant
(s infiniment peiil), on a
F(rt + £) = Ae-i -hAiD.£-i+ A2D;-£-) -...
+ Aa D? C-' -+- <y„ -1- Ui £ -f- c/o £- -I- . . . ;
f{x — a — £) =f{T — a ) Dj:J(x — a) -^ ï)j.f{.r — a ) -^ . . .
Le résidu eherclié est le coefficient du tei'me en dans le produit des seconds membi'es. Ce cuelficient est, en reuiar(pi,int (pie
DÉ's-l = (-!)" — ,
AJ(a: — a)-\-Xi D,,/(x — ^O-i- ^2 DJ, f(x — a) -^ . . .-h V^, D';.f(x-- m.
En écrivant (jue la somme des résidus de <I>(5 ) est nulle, on obtient la formule cherchée
F(.r) = ï[A/(j; — a')-\- Aj D,,/(^ - a ) h. . . + A,. l).^:/( .r - a)], OÙ le signe i se l'appoite à tous les pédes de F ( ./■) silu('s dans un
DÉCOMPOSITION d'uNE FONCTION MÉROMORPHE EN ÉLÉMENTS SIMPLES. l3
parallélogiMiiinic des périodes. En sujiposaiit p. ^jj.'=i, Hermite nionlre qu'on oljtient commo cas limite la tormuie de décomposition lelativc aux loiidions doublement périodiques de première espèce. Il applique ensuite >a tormuie aux tondions
H { X -{- a) VI { X ^ b ) . .
.lUx-hl) e>-^'
ri ('lant Je nonihre des conslaules (i. b /.
Si l'on clierche I uih-^rale
l'" ( X > dx
on est coudnil à un >eul élément nouveau
) dif.
Les tornuiles précédentes sont écrites dans la notation de Jacobi. Actuellement t^t =^ o car l'élément simple est lui-même une des tondions à décomposer.
10. Notations de Weierstrass. — Si l'on emploie les notations de Weierslrass. r(''l(''inent Mnq»le d'Ilermite est la fonction
^ , nix -i- a)
dont le >enl pide est j" r== u et ses homologues et dont le r<''SHlu e>t i pour le p(')le x = O. On peu! dt'lerminer X et p de façon que <I>(.;c) admette deux mull q)licaleui> donnés jj. et y.'
Nous écartons le c.is où ). serait une pérnide
2»i (o -I- 2 ni' m' :
ce cas auiMil lieu s|
loi; ;ji — imir: et lov^'^x + •i/uir.
él.uenl lu'oiioil lonuels à w et oj .
l4 PAUL APPELL.
On a alors
A,, B|, . . ., L, étant les résidus relaiifs aux pôles a, Z>, . . ., /. La différence entre les deux membres est une fonction partout finie, aux multiplicateurs /jl et |jl', c'est-à-dire zéro. On peut encore appliquer le ])rocédé par lequel Hermite obtient la formule de décomposition (2). Soit ^{x) l'élément simple défini plus haut, si l'on ajoute 2w ou 20/ à l'argument, l'élément simple est mulliplié par p. ou p' ; mais si on les retranche, il est mulliplié par- ou —• Dès lors, le produit
est une fonction doublement périodi(|ue de l aux périodes 2w el 200',
car le ])remier facteur admet les mulliplicalcurs - el —,■> le second les
multiplicateurs fj. et p.'. Il suffit d écrire que la somme des résidus de
la fonction de t,f(t), relatifs aux jjùles situés dans un parallélogramme des périodes ou pour leurs homologues, est mille pour obtenir la formule de décomposition.
11. Cas singulier des fonctions de deuxième espèce. — Le cas singulier où Ja fonction est égale au produit (J'unc exponentielle eP^' par une fonction doublement périodique y(x ) ne présente aucune difficuh(''. Néanmoins, il est utile de mettre, pour ces fonctions et surtout pour leur intégration, la formule de décomposition en éléments simples sous une forme en rapport direct avec leur nature. C'est ce qu'a fait M. Miltag-Leffler [7]. Une première formule s'obtient immédiatement en décomposant la fonction méromorphe doublement périodi(jue f{x) en éléments sim|)h's cl en multipliani le résultat par eP*"; mais il se présenle alors de> leiiucs de la foinie
d" Kx — a )
eP^'
dx'i
d.r" On a une icjrmuie plus commode en ])icii;itil comme élément sinqjle
DECOMPOSITION DUNE FONCTION MEROMORPHE EN ELEMENTS SIMPLES. l5
Alors OU a
»p.r/(a7) = C ep-i-V cl, z{x — a) -H C\j
dx
OÙ la somme i est étendue aux divers pôles <7, 6, . . . , / et où cl, est le résidu relatif au pôle a.
Les coefficients (5t, d3, (3 sont liés par une relation facile à déduire de ce théorème, que les résidus de la fonction /'(^) dans un parallélogramme des périodes ont une somme nulle. Le terme
donne comme coefficient de ^{x — « ), au facteur eP*" près,
On a donc
Clj -t- a2 p e-P" -+- C\2 ?- e-?'' H- . . . -r- c\ 3, 0=^-1 e-p« M- £13, -H £«32 p e-p'-' -f- ciJa p2 é'-p'' -f- . . . -t- tf3'j p?-' <?-p^
-H i^i H- X''2p e-p' -h X^'ap- e-p' -+-... -1- X''-/, p'-^ ' e-P^ = o.
l'2. Cas où les multiplicateurs sont des racines de l'unité. — Ces ■(;as ne font pas exception à la théorie générale; mais l'élément sim|)le <jst alors particulièrement intéressant. Il est alors tel qu'une certaine -de ses puissances, la 771'''""' si /j. et (jJ sont des racines m'^"""^ de l'unité, est doub'ement périodique ordinaire. Ces fonctions particulières •comprennent les trois radicaux (notation de Weierstrass) yj3« — e<, \/pu — 621 Y pu — 63 et généralisent, par conséquent, les fonctions anciennes snu, en m, dna. Aucune de ces fonctions n'a les deux périodes 2oj el 2^0', mais par l'addition dune des périodes elles sont multipliées pai- — i. Leur carré ne change pas. Ce cas est étudié en détail par Halphen [6].
13. Fonctions doublement périodiques de troisième espèce. — Je r<q)pelle que, d'après Ilermite. on donne le nom àki Jonctions doiiblcnient périodiques de troisième espèce, à des fonctions qui se comporlent comme des fractions rationnelles pour des valeurs finies
l6 PAUL APPELL.
de la variable z et se reproduisent muliipliées par des exponenlielles du premier degré en z quand on augmenle :; de l'une ou de l'autre |)ériode aoj ou 2co', 2K ou 2 /K.' suivant les notations. Parmi ces fonclions se trouvent les fonctions Q(z), H(;). 0i(:;), H,(^) de Jacohi, les puissances positives ou négatives de ces fonctions et, plus généralement, les expressions de la forme
0(5-4- ff)e(g + 6)...e(c + /;
0(G + rt')0(G + è')...0(5-^/')'
le nombre des facteurs du numérateur étant différent du nombre des tacteurs du dénominateur. On peut exprimer toutes les fonctions de iroisième espèce de ^ par une exponentielle du second degré en z multipliée par le quotient de deux produits de fonctions Q(^z-\-a) ne contenant pas le même nombre de facteurs au numérateur qu'au dénominateur. Elles se divisent donc en deux groupes : 1° celles qui renferment plus de fonctions 0 au dénominateur qu'au numérateur et (|ui, par suite, ne comprennent pas de fonctions entières; 2" celles ([ui renferment plus de fonctions 0 au numérateur qu'au dénominateur et qui comprennent des fonctions entières.
On peut toujours, en multipliant par une expcuientielle et faisant un changement de variables, ramener la buiction de troisième espèce considérée à vérifier deux relations de la forme
F(^; -t- /-K ) = F( .r), F(x -\- ■îiK' ) = e '' F(a:),
où m désigne un entier non nid, positif ou négatif, entier qui marque précisément l'excès du aomluc de 0 du nunuMateur sur le nombre des 0 du dénominateur.
Si //t est positif, la fonction F{z) a. dans uu j)arallélogramme des pi'-riodes, m zéros de plus (pie d infinis : en particidier, elle peut n'.^voir que i7i zéros et pas d infini, elle est alors entière; toute fonction de celte nature, avant m zéros et pas d'infini, est, comme on le \oil par la méthode des coefficients indéteruiinés. uiw fonction linéaire et homogène de //! loiiclioiis entières
g'oi-'^), ffl{^), ■■■■ gni-\{->C)
liiuMiremeiil iiid(''peii(laiites et analogues aux fondions 0 de Jacobi.
Si. .;u conlraiic, m es! iH'g.itil, m =■ — y.. I<i foiulioii Vix) admet.
«l.iiis un paralh-logiamnie des pt-riodes, [j. infinis de plus (pic (lez(''ros;
DÉCOMPOSITION d'UNE FONCTION MÉROMORPHE EN ÉLÉMENTS SIMPLES. IJ
en particulier «'lie peut avoir y. iiilinis et j)a> de zéi'o. comme ce serait le cas pour y^ ou
les X^^^ étant des coiislautes arbitraires et les fonctions o^. relatives à l'entier ,a.
Dans les deux cas, l'élément simple est une fonction de deux variables indépendantes z et ii. df'flnie par la série (i6)
n vn III
^-" ' " ^ ^ ^ i '' y "Viv-D cot —AZ~U— 2 V ; K ),
OÙ n est un eulier [joMlif et
Cette fonction devient infinie toutes les fois que la différences — u est de la forme 2/?K + 2y>'iK'(/) et p' entiers). Considéré comme fonction de s, l'élément yji{z-. u) admet le pôle z =^ u avec le résidu i ; comme fonction de «, il admet le pôle u ^^ z avec le résidu — ■ i. Par rapport à chaque variable, l'élément /„ admet la période 2K; il vérifie de plus les deux-relations
les fonctions gi- étant relatives à l'entier n\
n n ni
■/ji( Z, U -hiiK') = e '^ yn(z, II).
A l'aide de cet élément, on peut écrire toute fonclion doublement périodic[ue de troisième espèce, sous forme dune somme de termes ne devenant chacun inlini qu'en un p('»le du paralléloi^ramme des périodes.
Soit d abord une fonction de lroi>ièine espèce F(j?) ramenée à véritier les relations
F(x -h 2Ï\) — V(x), F(x -h liK' ) = c '' F(a7),
l8 PAUL APPELL.
OÙ m est po.silit". Il existe alors une fonction entière
où Xq, À|. .... ).,„„i sonl des constantes arbitraires vérifiant les mêmes relations. Si la fonction F(ic) devient infinie du premier ordre en jD pôles a, b, . . ., / d'un parallélogramme des périodes, avec les résidus A, B. .... L on peut l'écrire sous la forme suivante :
F(x) = — A /jni/', .r) — \i -/^niib, x) —. . .— Ly,n(l, x)-h G{x),
où il ne reste plus à déterminer que les constantes figurant linéairement dans G(^). Je n'insiste pas ici sur cette détermination qu'on trouvera dans les Mémoires originaux. La formule obtenue est évidentecar la fonction
F{x) + Ay,„(a, x) -H. . .-H L /,„(/, x)
ne devenant plus infinie est entière. Si les pôles au lieu d'être simples étaient respectivement d'ordre a, (3, . . . , X, on aurait une expression de la forme
F(x) =— 2| A /,„(«, x)-h Af ^ X'«(^'' ^
Cette formule peut être obtenue en écrivant que pour la fonction doublement périodicpie ordinaire cp(c) de z
la somme des résidus relatifs aux pôles a, b, . . . , / situés dans un parallélogramme des périodes est nulle. Le fait que <j>{z) est doublement périodique résulte des relations qui vérifient F(g), G(::), '/miz, x) considérés comme fonctions de z; le fait ((ue les pôles de F(2) — G(c) sonl ceux de ^ { z) résulte de ce que G(s) élaul enlier n'a pas de ])ôles.
Dans ces foi-iuules les coeflicienis A, A|, . . ., A^, . . . sonl eulièreiiKMil indé|)('ndants des p(')les; (|u;inl aux coeflicienis À/. (Ui arrive à les^ calculer (iG) soit par la uu-tliode des coefficients indélerminés, .voit par la considération de; l'intégrale
F(z)y,n(z, x') dz
prise sur le contour d un parallélogramme des périodes. Alors le nombre fondamental c7t de Poincaré est nul.
Si, au contraire, l'entier appelé m est négatif, m= — [j.. la fonction F (a:) comme on l'a vu, admet dans un parallélogramme des périodes [x infinis de plus que de zéros. En supposant ces infinis du premier ordre et appelant A. B, . . . , L les résidus correspondant aux pôles simples a, b. . . . . l on aura
¥{x) — A /at'-«- «,) -H B XuA-^N 6) -+-. . .-4- I. -/j,.{x, l)\
ces résidus ne sont plus indépendants des [)oles; ils leur sont liés par IX relations
Kgk{a) + ^gk{b)-r-...^hgi,{l) = 0 (A- = 0, I, 2, .... [a — i),
les fonctions o-;; étant relatives à l'entier p., les relations s'obtiennent en remarquant que la fonction
est doublement périodique de première (^s[)èc(' et écrivant que la somme des résidus relatifs aux pôles o, b^ . . . . l qu'elle possède dans un parallélogramme des périodes est /tulle.
Les [j. relations trouvées entre les pôles et les résidus suffisent pour rendre le second membre
^■/,[l(^, «7)-4- b 7 a(a7, b)-\-. ..-+-Ly„,(x. l)
de la formule de décomposition doublement périodique de troisième espèce avec m^= — ,a; c'est ce qu'on vérifie en se servant de la formule qui donne leffet de l'addition de la seconde période 2tK au premier argument de X'^i-'-) ^')-
On peut alors démontrer la foiinule de décompo^ilion en remarquant que la différence
ne devient plus infinie; elle serait donc entière, et comme il n'y a pas de fonction entière vérifiant les mêmes relations (jue F, quand m est négatif., cette différence ne peut être que nulle. J'ai pris le cas simple où F(a7) n'a que des [)ôles du premier ordre. Le cas
i-énéral se traite de iikmiic. On a alors
= 2 ["^ /-t^-< •'"' ^" + "^1 ^ Xl^^'^' ^O + . . ■ + Aa-i ^^^^^ /.u,(-^- «)J ,
la somme étant étendue aux piUes a, h. . . . . l supposés le premier d'ordre a, le second d'ordre p, . . ., le dernier d ordre \. Les relations entre les parties princi[)ales et les pcMcs s'obtiennent en écrivant que, pour la fonction doublement périodicjue de première espèce
¥(z) gi,{z) (k = o. I, o., . .., [0.-1),
la somme des résidus dans un parallélogramme des périodes est nulle. Dans les deux cas, l'intéoration conduit aux fonctions
/ /,>(<'^ ./" ) (Ix. j -/^{x. a) dx, I Gior ] dx.
La formule de décomposition dans le cas où il existe dans F(a;) plus de pôles que de zéros exprime que la somme des résidus de la fonction de z
dans un parallélogramme des périodes est nulle, et cependant cette fonction cp(^) qui admet la période aK n'admet pas l'autre 2?'K'.
Ainsi, et c'est là une circonstance très remarquable, la même fonction Xn{^-i ") ^"^'"^ d'(''l(''ment de décomposition dans les deux cas : dans l'un des cas, z est la variable et u un paramètre qui coïncide successivement avec les différents pôles; dans l'autre, c'est le premier argument z qui sert de? paramètre et le second u de variable.
Ces résultats donnent immédiatement les développements des fonctions doublement périodiques de ti^oisième espèce en séries trigonométriques. En effet, pour dévelo|)per une quelconque de ces fonctions en série, il suffira de connaître le dévelop])ement de l'élément simple. Je ne reproduirai |)as ici les développements en séries des quatre fonctions
On se trouve alors en posx-ssion de nu'thodes et de loriuules gén(''rales [)erm(!llaiil de trouver facileuu'ut les d('Vi'l(q)|>emenls en séries des foiu;tions doubleiueui ixiiodicpu'S de troisième espèce, et com-
prenaul, comme ras parliculiers, les formules si précieuses pour l'Arilhmrlique, que Bieliler [ 19] a établies daus sou excellente Thèse, en suivant la voie ouverte par Hermito. Quelques-unes des séries obtenues de cette façon ont été re|)roduites par tlermite dans un Mémoire inséré au tome 100 du Journal de Crelle. Cette méthode de développements en série permet de démontrer une loi générale énoncée par Hermite et vérifiée par Biehler sur un grand nombre d'exemplo. loi qui donne une propriété arithmétique exirêmement remarquable des coefficients des développements en série des fonctions de Irdislème espèce, suivant les puissances de cj :
Si l'on développe une fonction douhl('in<'nl périodique de troisième espèce en une série ordonnée par rajtport aux puissances de cp on voit apparaître dans les sinus et cosinus qui forment le
coefficient de (j' les combinaisons ° ~ "^'^ des diviseurs conjugués o
et o' de N; le signe -+- convenant au cas oii il y a au numérateur ni fonctions 0 de plus qu'au dénominateur, le signe —, au cas ou il y a au dénominateur m fonctions 0 de plus(/u'au numérateur.
On peut rallacher les formules de décom|)osilion en élémenls simples des fonctions doublement périodiques de troisième espèce au tliéorème de M. Mittag-Leffler : dans cette application [18] les degrés des polynômes à reliancher de la partie principale croissent indelinimenl .
On |)eut aussi obleuii' de> relations entre des/,, d'indices différenls.
Si m est positif, le nombre dl de Poincaré est nul ; si m est négalil m =^ — [j. il est égal à /j..
l i. Notations de "Weierstrass. — Le> nolalions de Weierslrass sont emj)l()yées par Halphen |6]. Voici couimenl ce dernier définit l'élément simple pour les fondions doublement périodiques de troisième espèce {Fonctions elliptiques, t. 1. p. 4<'8). Soient B{x) une fonction rationnelle et (/ une (piantité doiil le module est plus [)elit ([lie I, considérons la série
OÙ ni est lin entier posiiif.
La convergence de la série dépendra d(,' la nature de la tonction 0
pour les valeurs infiniment grandes et infiniment petites de:^. La série est donc convergente, car 0(z) pour ces valeurs reste inférieur à une puissance de z d'exposant déterminé. En faisant
la fonction 4' ('^) Gst évidemment uniforme et chaque point singulier de 0(57) donne lieu à un seul point, singulier de 4'(f^) dans un parallélogramme des périodes. Si donc 9(^) est une fraction rationnelle, la fonction ^(w) est une fonction fractionnaire ayant, dans chaque parallélogramme des périodes, des pôles en nombre égal à celui des pôles de Q[x). Comme x est une fonction périodique de u à période 20J, '^{u) admet évidemment la période 20J. Do plus, d'après la série qui définit W(j?), on a
'h{u -^ liji') — (—\)'» e "^ 4'(")-
La fonction ^|;( a) est donc de troisième espèce et, dans chaque parallélogramme des périodes, le nombre des zéros de ^{u) dépasse de m celui des infinis.
Si l'on décompose Q{x) en éléments simples, on voit que les diverses séries 4^ (") se rédiiisent à des types distincts en nombre limité.
Tout d'abord il faut supposer Q{x) réduit à un polynôme. En
supposant
on obtient m tonctions entières. D abord (!n prenant
on a la louclion entière
Si ICxpo.sajit do X esl M^x'-iicu r à m — i, on icliouNe une des fonclidiis pr<''cé(h'ntes, car, en chaiigcaiit v en v -(~ A", ou a
Ainsi, dans la fonclioii f^cncralc '^^{(i)-, un polynôme do degi"(' ni — i
donne naissance à
X(, Eoi «) + Ài Ei(u) -;-...+ /.„,! E,n-[{ii)^
et si le degré est supérieur à ( ?n — i), la somme est une combinaison linéaire de même forme de Eq. E,. . . ., E,„,(m). Ces séries E ne sont pas nouvelles : elles reproduisent la fonction S?) avec des arguments convenablement choisis.
On obtient l'élément sim[de en prenant
Y étant une conslanle. Si alors on pose
; TTll' — OJ]
la fonction parliculière 1> (;^) correspondant au choix de ^ {x) serait
„ . tir x?
^ .<rir/ ^ m'A'/ — 1) ^
Les pôles de F considéré couiuk' fonction de u sont
u =z V -i~ 2/îco -!- a/i'w' (/v et A' entiers);
on a en parliculier le [)(~ile u = r ayant pour résidu -|- r.
C^et ('lément F(u, ç) considéré comme fonction de a sert alors comuie nous l'avons vu à décomposer en éléments simples h's fonctions doublement périodiques de troisième espèce ayant plus de racines que de pôles.
Une fonction de troisième espèce avant plus de pôles que de racines est l'inverse d'une des fonctions précédentes. Halphen remplace la fonction \' {u, t^) par une autre ^{u, i') définie à l'aide de la première. Il remarque que si l'on ap[)elle ^{i-') upe fonction de la nature envisagée, le produit ^{u) ^{u, v) est une fonction doublement périodique de première espèce de u et que la somme de ses résidus relatifs aux pôles situés dans un parallélogramme des périodes est nulle. Le résidu de '^^iu. e) relatif au pôle a = i' étant i, on obtient <i>(e).
On peut aussi de Jexpression de V( a. t) dédniir les |»i(i|»ri(''tcs de rélémont simple, relativement au second argumenl. Non^ ne le tVidii^ pas ici, en renvoyant à Halphen [Traité^ t. 1, p. I78).
CHAPlTIiE III.
FONCTIONS d'un POINT ANALYTIQUE ET FONCTIONS AUTOMOUl'HES OE l>OINC\RÉ.
15. Fonction d'un point analytique .r. y. — Elanl donnée wm^ iclation algébrique entre x f^ly,
(pii tait correspondre, à une N.dcui' de jc, n v.deurs ), , )'.j y^
de 1', nous appelons point anahlique (ic, j') lenserable dune valeur arbitraire de a? et d'une des n valeurs correspondantes dey. Si Ton emploie la représentation géométri(|u(; de Pv.ien\ann, on j^eut imaginer sur le plan des x une surface de Riemann composée de n Icuillcl.s superposés : à chaque point r correspondent alors n valeurs de y. y,, y 2, . . . , yn chacune dans un feuillet.
Les variables 37 et y peuvent, d'après Poincaré [8. lOJ. éirc exprimées en fonction automorphe de z : toute fonction unifoi-me niéromorphe du point analytirpie (.r, r) d<'vient alors fonction aulomoiplie de z. On pourra utilement consulter à cet ('gard les travaux de (j. Humbert [11] sur l'application des fondions fuchsiennes à la Géométrie.
1(). Fonctions rationnelles de x et )'. — L ne fonction ralionnelle de X cl y. J\(x,y) peut éiic (h'-composée en éléments sim))les. Si la iclalKui algébrique (1) entre .r cl )' l'cprésenic une courbe nniciirsale, on peut exprimer ./■ el icii fond ion rationnelle <Win p.ir.inièlre /. la fonction R(^, J^) est aloi> r.ilionuelle en /. Si celle courbe esl de genre i, on peut exprimer .îmM y en fondion dimblenuMil periodicpie d lin paramètre /, alor> R(.r, )' ) (b'vient une loiulioii doublemeiil p(''IIO(ll(pU' d(! l.
Il ii'n a donc de vérilablemenl inuiveanN (pie le> c.t> on le genre de larelalioii (i)es| su p(''rieii r à 1.
Nous jnendions comme clément simple ïifités'rale abèhenne normale, de seconde espèce allachcc à la courbe F(.r, j')=o. Cette intégrale est. comme Ton sait, nne fonction du point analytique i^x.y) finie partout, excepte- en un [)oint x = ;. ]' = n où elle devient infinie du premier ordre avec un lésidu égal à l'unité: je la désigne par y^i'i. ri), en mettant ainsi en évidence le point (4, ■/)) où elle devient infinie. Cette fonction Z(;. r/) est une fonction rationnelle du paramètre Ci. Ti) avant pom; [)ù!es les j)oinls criliques et les points (.z\ y) et {xo, >o), ees derniers avec des résidus — 1 et + i , comme il résulte du théorème sur féchange du paramètre et de l'argument dans les intégrales de troisième espèce. Elle joue dans celte tliéorie le même
rôle aue la fonction = dans la théorie des fonctions uni-
formes de ,/•. L'expression générale d'une fonction rationnelle R(j:, t) est. d après une formule de Riemann-Pvoch,
Celle formule est la généralisation de' la formule de décomposition d'une fraction ralionnelle R(r) écrite sous la forme
A,-r- -h. ..-f- Aa-
Il Y a cependanl cuire l<i ihcoiic des f(inclions d'une variable ./ et celle des huidious d'un ])oint analvli([ue (x, y) une différence consid(''rable qu'il iiuporle (h' signaler en peu de mots : c'est que, dans les expressions (pie (huiue Weieix|rass pour les fonctions uniformes d une variable r. /c.v coefficients sont arbitraires, tandis que dans h.'s expressions do fonclions uniformes d'un point analytique {x. y), les coefficients des séries snnf assujettis à vérifier p relations (pi'il ser.iit lioj) long d'indi(pier ici.
Les formules se déduisent touti's pai- un ])rocedé uniforme du théorème siii\aiit la g('ii('Malisation du llu-orème n" i.
5"/ 1(111 forme, d'une paît . la soimiie des résidus d'i(/ie fonction uni forme d'an point analyliipie ayant un nombre fini de points
singuliers et^ d'autre part, la somme des coefficients dex^^ dans les développements des m déterminations de la Jonction au voisinage du point 00, ces deux sommes sont égales.
D'après Poincaré, le nombre fondamenlal i)l csi égal î\ p. J> fiant le genre .
M . Fonctions à multiplicateurs constants. — Ces fonctions eonslituenlla généralisation des fonctions douljlcincnt périodiques de seconde espèce.
Partons de la considération d'une lelation algébrique de genre y> et de la surface de Riemann correspondante, rendue simplement connexe au moyen des coupures introduites par Riemann. Les fonctions à multiplicateurs sont des fonctions uniformes sur cette surface, n'ayant d'autres singularités que des pôles et dont les valeurs, aux deux bords d'une coupure, ne diffèrent l'une de l'autre que par des facteurs ou multiplicateurs constants : il y a en tout ay> multiplicateurs correspondant aux ayj périodes d'une intégrale al);'lic'nnLde première espèce. Le problème qui se pose alors est de former l'expression générale des fonctions admettant '2p multiplicateurs donnés d'avance. Cette expression peut être donnée sous une forme, qui met en évidence les pôles et les parties ])rincipales corres])ondantes ; elle est fournie par une somme d'éléments simples. Pour arriver à cette formule, il faut avoir recours à la notion d'intégrales de fonctions à multiplicateurs, de même qne, pour décomposer en éléments simples une fonction algébinque par la formule de Riemann-Roch, on est obligé de se servir d'intégrales de fonctions algébriques. La formule est toujours la même : l'élément simj)le est l'intégrale de seconde espèce d'une fonction admettant les multi])licateurs donnés.
Comme \\ arrive déjà pour les fonctions alg(''l)iiques de genre supérieur à zéro, les résidus et les pôles d'une fonction à multiplicateurs ne sont pas indépendants les uns des autres : il existe, en général, p — I relations entre les pôles et les résidus correspondants d'une fonction à multiplicateurs et y> dans un cas spécial, comprenant en particulier celui des fonctions algébriques; ce cas spécial se présente lorsqu'il existe une fonction sans zéios jii infinis, admettant les multiplicateurs donnés. C'est ainsi, par exemple, que, pour les fonctions doublement périodiques de seconde espèc(! d'ujie variable //. {p = i), il n'j a, en général, aucune relation entre les pôles et les résidus,
tandis qu'il en existe une lorsque les multiplicateurs sont ceux d'une certaine exponentielle.
Le nombre 51 de Poincaré est icÀ p — i .
18. Fonctions à multiplicateurs exponentiels. — Les fonctions à multiplicateurs constituent, comme le montre l'analyse précédente, des fonctions analogues aux fonctions doublement périodiques de seconde espèce. On peut étudier de même certaines fonctions d'un point analjlic|ue, cjui peuvent être envisagées comme analogues aux fonctions doublement périodiques de troisième espèce. Si l'on considère une courbe algébrique de genre p et si l'on appelle m^'' (x, y) (i = i, 2, . . . , p) les intégrales abéliennes normales de première espèce correspondantes, les fonctions considérées sont des fonctions du point analytique (x, y) qui ne changent pas, quand ce point décrit un cycle normal de rang impair et qui se reproduisent multipliées pare"'"" ^■^•-^' quand le point décrit le cycle normal de rang 2 1 , m désignant un entier positif ou négatif. Supposons encore ([ue ces fonctions n'aient que des pôles sur la surface de Riemann, alors : i" si m est positif, elles ont sur cette surface un nombre de zéros dépassant de inp celui des infinis; 2'' si, au contraire, m est négatif et égal à — ]jL, elles ont p./> infinis de plus que de zéros. Les fonctions de la première sorte sont les inverses de celles de la seconde. On peut obtenir l'expression générale de ces fonctions par une fraction rationnelle en X et j^, multipliée par des fonctions 0 où l'on a remplacé les variables parles intégrales abéliennes correspondantes. Quand m est positif, les résidus et les pôles sont indépendants les uns des autres; quand m est négatif, il y a des relations nécessaires entre les pôles et les résidus correspondants.
Je n'ai trouvé nulle part de formule de décomposition en éléments simples. Il faudrait former cet élément par analogie avec ce cjue nous avons vu pour les fonctions doublement périodiques de troisième espèce {p = i) (n" 12).
Cette formule pourra probablement se déduire de ce qui suit.
19. Fonctions automorphes. — Les fonctions automorphes ont été formées par Henri Poincaré [8], elles reprennent la même valeur
quand on y remplace la variable z par —^ ^, aè — j3y = i . Poincaré
a appelé ces fonctions fuchsiennes et kleinéennes en hommage aux
MlÎMORIAI. DES se. MATH. 2
mathématiciens allemands Fuchs et Klein qui avaient été des précurseurs. Mais si le nom de ces fonctions devait rappeler le nom d'un savant, ce ne pourrait être que le nom de Henri Poincaré : aussi vaut-il mieux leur donner un nom qui ne rappelle celui d'aucun savant et de les nommer aulomorphes.
H. Poincaré a démontré que les coordonnées d'un point x^ y d'une courbe algébrique de genre quelconque peuvent s'exprimer en fonctions aulomorphes d'un paramètre z : les fonctions rationnelles de iP et jK deviennent alors des fonctions automorphes des paramètres. Les fonctions à multiplicateurs constants deviennent
des fonctions, qui, par chaque substitution du groupe -^ ^. se
reproduisent à un facteur constant près; les fonctions à multiplicateurs exponentiels deviennent des fonctions, qui, par chaque substitution du groupe, sont reproduites multipliées par une exponentielle do la forme e~"''"'^-^''-"', ui(x^ y) étant une intégrale abélienne do première espèce. Pour chacune de ces sortes, les fonctions aulomorphes, Correspondant aux trois espèces de fonctions elliptiques, la formule do décomposition en éléments simples se déduit de la formule relative aux fonctions du point analytique {x, y) par la substitution des expressions de x et y en fonction de g.
Il paraît probable qu'on peut définir des fonctions automorphes des trois espèces analogues aux fonctions doublement périodiques des trois espèces.
Grâce aux relations algébriques entre deux fonctions fuchsiennes, il est possible d'utiliser les fonctions automorphes pour l'étude des fonctions et des courbes algébriques. On peut se servir des expressions des coordonnées d'un point d'une courbe algébrique en fonctions fuchsiennes d'un paramètre pour arriver à un certain nombre de théorèmes et retrouver ceux que G'ebsch a déduits de la théorie des intégrales abéliennes. C'est ce qu'a fait M. G. Humbert [11]. On peut se servir également de ces expressions pour exposer d'une façon plus simple la théorie des intégrales et fonctions abéliennes.
Si, dans une intégrale abélienne de première espèce, on remplace la variable par une fonclion aulomorphe de;;, celle intégrale devient à son tour une fonction uniforme de z dont on trouve aisément le développement analytique. Ainsi, ces intégrales qu'on savait déjà obtenir à l'aide des fondions 0 sont susceptibles d'une expression anal} tique
enlièremenl différente dans l.i(|ucllc ciiln'ut des transcendantes dépendant d'une seule variable.
20. Fonctions zètafuchsiennes de Poincaré [8|. — Les fonctions zêtafuchsiennes jouent dans les théories de Poincaré [9] le même rùle (|ue les fondions zêla d.ins la théorie des transcendantes elli|)li(iues. Soit o- un groupe fuchsien (|uelc()n([ue, Z,,, Zo, . . ., Z^,, p tondions de z n'existant (pi'à Tinlérieur du cercle fondamental; supposons que lorsque z subit une substitution du groupe g d'une famille déterminée qui peut être la première, la fonction Z, se change en léCiiklik', les subslilulions
formeront un groupe G isomorphe à g cpie Poincaré appelle zêtafuchsien.
Supposons que ces fonctions Z soient uniformes et n'aient à 1 intérieur du cercle fondamental que des pôles. Lorsque le polygone générateur Ro a un ou plusieurs sommets sur la circonférence du cercle fondamental, soil a l'un de ces sommets. On suppose que les fonctions Z n'onl dans le voisinage du point :; = a que des singularités logarilhmi(pies analogues à celles que présentent au voisinage de ce point Jes fondions fuchsiennes engendrées par le groupe g. Ces fonctions sont, comme on sait, holomorphes en r^ en posani t
Dans le voisinage de ce même point singulier, les fondions Z sont
de la forme
où les À sont des c(jnslanles, où <!>,, «1»2 «l'y >oiil holomoiplie^
en e' et où P,, P.>, . . ., P,/ sont des polynoines eu / de degré /«,,
//o, . . . , II,), lels (pie
/j I -+- no -+- . . . -t- n,/ = p — </.
oùyj est délini plus loin.
Lorsque toutes ces conditions sont reuiplies. ou dit (pie les fonctions Z sont des fonctions zètafuchsiennes.
Si alors on considère les équalions
(Il' V v^ d'^i>
(I.rl> ^U -^ ■ d.r''
3o PAUL APPELL.
OÙ k's 'j sont des fondions rationnelles de x et j' supposés liés par la deuxième équalion. Poincaré considère une équalion auxiliaire
dx-
où ô(j?, j') est une fonction rationnelle telle que tous les points singuliers do l'équation en c appartiennent à l'équation en «'. Nous n'insisterons pas sur la détermination de B qui a été donnée par Poincaré. En supposant que 6 soit choisi de façon que x kiV y soient des fonctions fuchsiennes /(?) et/, (s) du rapport z des intégrales en tr el que les intégrales e soient partout régulières; alors si nous substituons j\z) el/,{z) à la place de x et y, les intégrales p deviendront des fonctions zètafuchsiennes de z. soit Zj, Zo, .... Zip un système zêtafuchsien de la première famille. Soity (s) une fonction fuchsienne de la première famille ayant même groupe fuchsien que ce système; nous supposerons, avec Poincaré, que /( g ) est du genre zéro et que toutes les autres fonctions fuchsiennes du même groupe sont des fonctions rationnelles def{z). On peut démontrer que les jj fonctions
peuvent se développer en séries de la forme
où les a sont les infinis et les A les résidus correspondants. Sup- |)Osonsque a soit un infnii des fonctions F,(5) situé à 1 intérieur de R„ infini que nous supposerons simple et Aq, A2, . . ., A^ les résidus correspondants de p fonctions F,-.
Les points
seront aussi des infinis simple,':? de ces mêmes fonciious. Fti considérant la substitution S/(Z,j,, 2«(j,pZp), nous écrirons
les résidus des p fonctions F, poui-
DÉCOMPOSITION D'UNE FONCTION MÉROMORPHE EN ÉLÉMENTS SIMPLES. Jl
iVoiis Irouv('ioii> comme élément simple
et ainsi, chaque lonclioa F^ se Irouvera décomposée en un nombre fini d'éléments simples de la forme ^m(«, n).
Mais on peut pousser cette décomposition plus loin.
On a, en etïet.
ou encoiv
<I»,j. = Vi «l»,j.i T- A., *a2 ■+-■•• -r- A/, *u./.
en posant
j(Y,« -ho,)'-/'-
de M)rte que si les tonctions F, admettent les infinis simples ^,. ^o, . . . . z,i à l'intérieur de Rq et si elles adm(;ttent l'infini Zk respectivement avec les résidus B/, , , ^k2^ • ■ •• ^kp-, nous aurons l'identité
(jui nou> donne hi lonctioii Z^ ( -~ ) décomj)osée en cléments
Miujtles.
Poiii' ('■ludier ces éléments simples, <t>,j^,.(;. a), on considérera a comme \ariable.
CHAPITKK IV.
lONCTIONS HARMONIQUES DE VAIUABLKS RÉELLES.
!2l. Fonctions harmoniques de variables réelles. Théorie générale. - On peut [20 1 étendre les théorèmes de la théorie des fonctions
d'mie variable complexe aux fonctions /lainwuirjiies, c"esl-à-dire aux fonctions de trois variables réelles, vérifiant, là où elles existent, réfjualion aux dérivées partielles
dj^ à^ d-^F dx- âj^ àz-
En convenant de considérer x, y, z comme les coordonnées d'un point par rapport à trois axes rectangulaires, une fonction F vérifiant Técpiation AF = o. pourra être définie dans tout l'espace ou seulement dans une portion de l'espace en exceptant certains points ou certaines lignes, ou certaines surfaces. La théorie de ces fonctions se rapproche tout naturellement de celle des fonctions d'une variable imagin.iire w = .r + /)% si Jon se rappelle que la [)artie réelle d'une fonction analytique de x -+- iy vérifie une équation aux dérivées partielles analogue, mais à deux termes seulement.
22. Fonctions analogues aux fractions rationnelles; décomposition en éléments simples. — Si ïon imagine une fonction harmonK|ue liiiie continue et uniforme dans tout l'espace, sauf en certains points, ou peut classer ces points en pôles et points singuliers essentiels: on se sert pour cela de l'élément
\/(x — af-i-(y ~ by^-^ (z — c Y^
(lui joue le i-ù\(' de dans la théorie des tonclious d une varialilc
complexe cl (pu coiiduit <uix tonctions Vi- de Tait cl Thomson, puis on définit le résida de la fonction en un pôle ou en un point essentiel isolé'. Les points singuliers étant ainsi classés, on obtient lexpression l.i plus générale (rniie fonction n'ayant que des' pôles : une fonction de celle nature doil èlre reg.irdée comme analogue à la partie réelle d'une fonction rationnelle d un<' \ariable imaginaire : elle est égale à une somme de fonctions di' la forme Vt,(j:' — a, y — 6, z — c) à indices positifs ou iK'gatifs, la formule constituant la (h'couiposilion eu ('■léiiienls simples. En supj)()sanl ensiiile une fonclioii (pii possède un nombre fini de points singuliers, parmi lescjuels des points singuiiei's esseiiliels. on |»eul donner rexpresslon générale de cette fonction sons forme d une somme de tonctions u'aNanl cliacuue (pi un point
singulier. On démontre enfin, pour les fonctions harmoniques uniformes, un théorème analogue à celui de Gauchv sur la somme des résidus i^elatifs aux pôles situés dans un contour donné, en faisant jouer à la formule intégrale de Green un rôle analogue à celui de l'intégrale de Cauchy. On peut également établir un théorème analogue à celui de M. A'Iittag-Leffler en donnant l'expression d'une fonction harmonique uniforme ([ui admet pour pôles un nombre infini de points donnés à l'avance avec des parties principales ég.dement données. G est ce ihéorème (pu inter\ i<'nt dans ce (pu suit.
23. Fonctions harmoniques à un, deux ou trois groupes de périodes. — Pour appli(pier (;es ihéorèmes généraux à des exemples, on peut faire [21] une étude générale des F(j", y, z) admettant trois groupes de périodes (a, b, c), («', b' . c). («", b\ c"): j entends par là que ces fondions pi-enueut aux points (.t-\-(f. y -\- h, z-\-c), (x-\- a' ^ y -t- b' , z -h e' ), {x + (i\ y + b" , z -\- c" ) les mêmes valeurs qu'au point ( x, )', z). On peut représenter cette propriété par l'image géométrique suivante. Gonsiderons les trois segments de droite partant de l'origine pour aboutir aux trois points {a, b. r), (a', 6', f'), {(i". b\ c" ) et, sur ces trois segments, construisons un parallélépipède; sur les faces de ce j)arallélépipède. plaçons des parallélépipèdes égaux et orientés de la même façon; |)uis. faisons la même opération pour les nouveaux paiallélépipèdes et ainsi de suite, indéfiniment de manière à remplir tout l'espace d'un réseau de parai lélépqjédes égaux et orientés de la uKMue façon. >e louchant |)ar leurs fac(.'s égales. La foiielion V p()>xède celle propriété, qu'elle reprend les mêmes \aleiirs aux p(iin!> placés de la même façon dans tous CCS paralleléj)q)édes. Il suffira, d après cela, de connaître la foncticm V dans un de ces parallélépipèdes que nous appelons paidUrb'pipède idènientairr. pour la connaître dans tout l'espace. On voit qu(! ces fonctions sont semblables à la partie réelle d une fonction doublement périodique d'une variable imaginaire Il ^ X -\- iy% (pii re|)reiid les mêmes valeurs aux points d'un plan [)lacés de la même façon dans un réseau dt; |)arallélogramnies. Gette similitude se poursuit dans la plu[)art des propriétés; ainsi :
Une fonction à trois groupes de périodes^ finie en tous b^ s points d^ un pdraUèlèpipède élémentaire est une constante. Si la fonction
admet dans un parallélépipède élémentaire un nombre fini de points singuliers, la somme des résidus relatifs à ces points est nulle.
Jusqu Ici ces tond ions suiii conçues seulement iji abstracto, il s"a<4il d'axoir leurs expressions analyliqiies. Pour cela, je commence par consLniire, à l'aide d'une série, une fonction 7j(x, y. z) vérifiant I équation du potentiel et présentant la plus grande analogie avec la
l'onction 7^{ u ) ^ -, à Taide de laquelle on peut, comme Ta mon-
tré Hermite, représenter toutes les fonctions elliptiques par une formule de décomposition en élément simple: la fonction Z(a?, j^, s). nous permettra, de même, de représenter toutes les fonctions à trois groupes de périodes a^ant dans un parallélépipède un nombre fini de points singuliers : elle est essentiellement définie par la condition d'avoir, pour pôles du premier degré avec le résidu +i, tous les sommets du réseau des parallélépipèdes. Par Tapplication du théorème analogue à celui de M. Mittag-Leffler, on arrive à écrire cette fonction sous forme d'une série qui converge absolument. Cette fonction n'admet pas les groupes de périodes {(i. b^ c), («', 6', c'), («", b\ c"), pas plus que la fonction T^iu) n'admet les deux périodes des fonctions elliptiipies; elle vérifie des équations de la forme suivante :
Z(if -\- a, y -\- b, ô -t- c) — Z(a;, y, s j = ^x -+- Bj -i- Gg -l- \i.
les lettres A, B, C, E désignant des constantes qui dépendent des neuf quantités a. 6, c, «', b\ c', a", b\ c" ] ces constantes sont liées par des relations que l'on établit it priori el qui permelleiil de les calculer dans certains cas, autrement (jue par des séries, par exemple, dans l(î cas où les parallélépipèdes élémentaires sont des cubes [22J. I^a fonction Z(.r, y, z) une fois cf)nslruit(', (tu a très simplement l'expression d'une fojiction à trois groupes de périodes n'ayant que d(^s pôh^s, par une somme composée de fonctions Z et de leurs dériv(''es en s'a[)[)uyant sur ce fait que la somme des résidus, relatifs aux pôles situés dans un parallélépipède des pc'iiodes est /tulle. On peut rem[)lacer léh-ment simple Z par ujk; fonction à trois groupes d(! périodes [!2!2J, nuiis cet élément n'i^st plus harmonique. Si l'on fait croîti-e indéfiniment une ou deux dimensions des [)arall('l<';|)ipèdes «'lémentaires, on oblicnl des fonctions n'avant que
deux ou un groupe de périodes : parmi ces dernières, se trouve une fonction qui a éLé employée par Chervet pour exprimer le potentiel d'une masse liquide limitée par deux plans parallèles et traversée par un flux permanent d'électricité. La fonction Z(a?, j, z) peut être employée dans des questions de Physique mathématique du même genre.
Dans la décomposition en éléments simples des fonctions harmoniques à trois groupes de périodes, le nombre fondamental de Poincaré est égal à i, comme pour les fonctions doublement périodiques de première espèce.
