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aussitôt que ces segments correspondent aux 3 colonnes cycliques des C£ combinaisons suivantes :
Et on voit bien que le nombre des segments, non superposables par rotation autour de O, est le même que celui des colonnes cycliques.
Cas i — 3. J’obtiens alors les triangles suivants que je groupe en «colonnes cycliques » : ceux d’une même colonne s’obtenant par rotation :
BD CD, DD, bebe De--bebi ba bébeb be bc:
bo D Ds D, be ba, be b3 bs D, b, bé, b4 b; b,, b; b be ÉD AB ED be bib he bib, bb: bb D: bb, DÉD Di btb.1b
Cas i — 4. J’obtiens les trois groupes de quadrilatères :
bob,b;bs, Dibsbsbé bibsb4bs, b3b4b;b,, bib;bçbz D5bo bi Da bob:b3b;, bib:babo D:2b3b5b;, bsbabobz bab5bibz D5b6b2b4
correspondant aux 3 colonnes cycliques des Cé combinaisons.
Cas i — 5. J’obtiens alors le seul groupe de pentagones :
DR D DD hat D DA De be bb Ps b, b; D D, > by b; D b, Da, pb; b b, D bp,
correspondant à l’unique colonne cyclique des C5 combinaisons. D'une façon générale, on peut énoncer le :
Théorème 4. — Etant donnés m points équidistants sur une circonférence de centre O, si on joint ces m points i à i on obtient Ni,m polygones à à côtés qui ne sont pas superposables, par rotation sur le plan, autour de 0.
REMARQUE. Il est à noter que deux triangles comme b, b, b; et b, b, b; qui sont égaux et superposables par retournement autour de b, b, ne sont cependant pas superposables, par rotation sur le plan, autour de O. Du reste, à ces triangles correspondent les combinaisons 013 et 035 dont les caractéristiques : 1, 2, 3 et 3, 2, 1 sont bien distinctes.
$ 4. Détermination de Nim à partir de Him.
On sait que Him est le nombre de décompositions de m en sommes de i nombres, différents ou non, mais ordonnés. De plus, Him — C}} quels que soient i et m. Si on trouve une formule liant Nim à Him, on obtiendra ainsi la valeur de Nin. Je ne donnerai pas ici cette formule de liaison générale et me limiterai aux cas suivants : m et i premiers entre eux; i premier et m quelconque ; m quelconque et i — 4 ou i — 6. J’obtiendrai, de cette façon, les expressions de Nim qui me seront nécessaires pour calculer les Eim dont j'ai parlé.
DÉFINITIONS. Considérons l’une quelconque des Him décompositions : €, + e, + + e;-1+e. Si on effectue sur les termes ek des permutations circulaires, deux cas sont possibles :
19 Il faut 1 permutations pour obtenir à nouveau cette décomposition, dans le même ordre ; c’est-à-dire que cette seule décomposition engendre 1 décomposilions parmi les Him. Une telle décomposition sera dite asymétrique.
20 Après d permutations (d <i), on retrouve déjà la décomposition initiale ; c’est-à-dire que cette décomposition n’engendre que d décompositions parmi les Him. Une telle décomposition sera dite symétrique d’ordre d. En effet, elle doit nécessairement avoir la forme suivante :
(b, + D, + + Da) (b, + b, + se. + ba) ER c’est-à-dire qu’elle doit être constituée de î parties contenant d nombres identiques et dans le même ordre.
Il résulte de ces définitions le :
Théorème 5. — La condition nécessaire et suffisante pour que l’une au moins des Nim décomposilions engendre moins de i décompositions entrant dans les H;h est que m et i ne soient pas premiers entre eux.
PREUVE. 10 La condition est nécessaire en effet, car si on suppose qu’une telle décomposition symétrique d’ordre d existe,
elle est constituée de + parties dont la somme vaut m. Chacune d’elles vaut donc À = Æ<, Or 2 doit être un entier et, comme
d d<i, il faut nécessairement que m soit divisible par i.
Ni vhs
20 La condition est suffisante aussi, car si i divise m, le nombre 7 Ÿ est entier et on peut toujours construire une décomposition symétrique d'ordre d. Ce théorème va maintenant nous permettre d’établir les formules donnant N;n dans les cas suivants :
