I. m et i sont premiers entre eux

Alors on peut établir le :

Théorème 6. — Si m et i sont premiers entre eux, on a : Nim = -2— (4)

PRrEUvE. D’après le théorème 5, si m et i sont premiers entre eux, les Nim décompositions sont asymétriques et elles engendrent donc, par les i permutations circulaires effectuées sur chacune d'elles, toutes les Him décompositions ; car on sait que deux quelconques des Nim décompositions sont distinctes si elles ne s’obtiennent pas par permutation circulaire. D'où : Him = à Ni,m

et comme Him — C}=? on a bien la formule (4).

REMARQUE. Or la formule (2) nous donne, pour m et i pre-

; C miers entre eux : Nim = ——,; Ci Cie.

te mm m Cm—1 (5) on en déduit donc la relation : :

dont on vérifie aisément l’exactitude.