LOUE SOS ETS | API
On constate tout d’abord que parmi ces N4,11 — 30 décompositions il n’y a qu’une seule décomposition E4,11 : (1+2+3+5). Et cette décomposition E4,11 engendre 6 décompositions de N4,11. Du reste, à ce sujet, on a le:
Théorème 7. — Chaque décomposition de Ei,m engendre (i-1) ! décompositions de Nim par permutations des termes de la somme.
PREUVE. En effet, soit a, + a, + + a l’une des Ein décompositions. Dont, 4,4; <....…. <a. En effectuant sur les ax toutes les permutations possibles, on obtient i/ des Him» décompositions. De ces i! décompositions, soit r le nombre de celles qui appartiennent aux Nim. Si on effectue sur chacune
de ces r décompositions les i permutations circulaires, on retrouve
les 1! décompositions de Hi,n. D’où : r.i—i! donc r — a —(i1)1 Cid
On remarque ensuite que toutes les autres décompositions ont au moins deux nombres égaux. Et pour exprimer leur nombre, on peut opérer ainsi. On ne considère, en premier lieu, que la colonne de gauche ; le nombre de ces décompositions est :
pe
N2,9 + No,7 + N2,5 + N23 et d’une façon générale :
No,m-2 + N2,m-4 + + No5 + No: pour m impair et
N5m=2 + Nom-4 + ce + No,4 + No, pour m pair.
Pour obtenir ensuite le nombre total des décompositions de N4,11 Où 2 nombres sont égaux, il faut fripler la somme ci-dessus puis y retrancher 2 fois le nombre des décompositions contenant 3 nombres égaux. Or le nombre de telles décompositions est de : TD UE sm -Sk+le -##im UE,
En effet, ces décompositions vont de:
1+1+1+(m-3); 2+2+2+(m-6); … à 428420 0 si m=3k+2 de 1+1+1+(m—3); … à 4 LT 4 1 si m—8k+1 et de 1+1+1+(m-3); … à 4,2, 8 si m—3k.
D'où les différents cas à considérer :
À. — m impair.
D’après ce que nous venons de dire, Nm est égal à (= 1) ! : Eym — 6 E4m (théorème 7) augmenté de 3 fois le nombre de décompositions ayant Z nombres égaux, qui est No,m-2 + No,m-4 + + No,5 + N23 et diminué de Z fois le nombre des décompositions qui ont 3 nombres égaux et qui est ici de La D'où l’équation :
Nam — 6 Een 3 (Nom + Nom + + Nas + Nos) — 2 (ES) 3 Nam —9 (N2,m-2 + N2,m-4 +....+ No,5 + No,3) + 2 (m—2)
er 1 O7 = 18 ] : e m— | —2 —3 Mais comme m est impair : N4m — C à Le (n-1) Le ) (m5) D'où ; 3 Nam = (m2) M3) D'autre part, les nombres
(m—2), (m—4),… 5, 3 sont tous impairs aussi. D'où : No,m2 + Norma + + No,5+ Nos = MS, +3+2+1—
3 —8\ __(m-—1) (m3) Le ol CO). car il s'agit de la somme des
termes d’une progression arithmétique. D'où : (m—1) (m—2) (m—3) — 9 (m—1)(m—3) + 16 (m —2)
Esm 144
are "Le
ee 2 0) Où. EE m 15 ee 63 m
APPLICATIONS. Eau = | E4,17 — 1 Ea,23 — 39.
Le raisonnement est le même, mais cette fois il y a = décompositions, parmi les N4m, qui possèdent 3 nombres égaux etrOnLAar Nm = 6 Et + 3 (Naum2 + Nom-a + 2. + Na,5 + Na,3) — 2 (FT) __(m-1) (m-2) (m-—3) — 9 (m-1) (m-3) + 16 (m-1) x 144
D'où : Eim
mS —— 15 m2 + 63 m — 49
QUE Esm = 144
APPLICATIONS. Ea1s = 3 Euio = 18 Eu25 — 54.
O0 => Ji
Le raisonnement est encore identique, mais il n’y a, cette fois, que (= :) décompositions de N4m Où {rois nombres sont égaux. D'où l’équation :
Nam = 6 Em + 3 (Nam-2 + Na,m-4 +... + No,5 + N2,3) — 2 Ca )
D'onCSE (m-—1) (m-—2) (m-—3) — 9 (m-—1) (m—3) + 16 (m3) + 4 DA 144 de E mÿ — 15 m°? + 63 m — 81 * 4m —
APPLICATIONS. 415 = 6 io 271 Eu4,27 = 72.
B. — m pair.
Alors le nombre des décompositions de N4m qui contiennent deux nombres égaux est donné par :
No,m-2 + Noym-4 + se. + No, + N24 + No. De plus, il existe, cette fois, des décompositions de cette nature qui ont une forme non rencontrée avec m impair. Elles sont même de deux types et il faut distinguer 2 cas :
ur Dear
1° m<4k. Les LE Er particulières :
1+1+RSHRS, 2424 mt pm, —2 m—2 +2 mi, mt m +2 — m—2 Es da # 4 ei a ra ee: ns ; Sn de ‘490; nr ler un
entrent dans la somme ci-dessus. Mais les e R premières décompositions n’engendrent, chacune, qu’une nouvelle décomposition de de par FÉRRANOR I
. —4 à +2 2 1+RÉÈ+I4TÉ te PES M ere rene Dos chacune des 2e ne to e donne naissance,
en tout, à 2 décompositions de N4m et non à une seule comme (a+ a+ a+ b) ou à trois comme (c+c+d—+e). De la somme 3 (Nam-2 + Nam-4 + + No4 + No) qui intervient dans l’expression de N4m, il faudra donc retrancher Le à cause de ces décompositions. Il faudra encore retrancher 8:12) de cette
même somme car les . dernières décompositions, qui sont
comptées trois fois dans cette même somme, sont les mêmes
décompositions de Nim que les re premières (obtenues par
permutations circulaires) ; elles n’engendrent donc aucune nouvelle
décomposition de N4m. — En résumé, pour m pair et m=4Kk,
il faudra retrancher dans l'expression de Nam le nombre : m8 + 3.(M$) c’est-à-dire (m—2).
D'où les trois cas nouveaux :
Alors l’expression de Nam est :
Nam = 6 E4,m+3 (N2m-2+N2m-4+...+N2,4+N2,2) — à - (m2) — (m2) 3 Nam — 9 (N2,m-2-+ N2,m-4+ + N2,4+ No,2)+ 5 (m2)
D'où Û Ds = 18
Or Nam, avec m pair et m <4k, est donné par la formule (8) : 3__6 m? — 3 6 m°? + 14m—12
Ne 6 m? + 14m Ne 6 m? + 14m
More
D'autre part, comme m est pair, m—2, m— 4... sont pairs et la Cis+10 m2: ..m-4.
) = 9 , Net — 9 ge.
D'où : 9 (Nam-2 + Nam-4 + + Noa + No) —
m — m— m (m—2 = 9 (nt OP POI À 1) mes m8 — 6 m? + 14 m — 12 — 9 m (m—2) + 40 (m—2)
formule (6) donne : N2,m-2 —
D'où: Eim —
Ou Eim —=
APPLICATIONS. Ea,14 — 5 4,26 — 64 Eu4,38 —= 249,
Il suffit, dans ce cas, de remplacer dans l’expression de Nam ci-dessus, — ?(m—2) par — À (m— 1) :
Nam = 6 Em 3 (N2m-2-+ N2m-4+ + No,4+ N2,2) —$(m—1) — (m2) Do He m$—6m?+14m—12-9m(m-2)+16 (m-1)+24(m-2) | 144 m® — {5 m°? + 72 m — 76
Ou : E4m —
APPLICATIONS. Eu10 = 1 Eug22—134 Ei46 — 478.
C) Im —="otk.
Cette fois, il faut remplacer, dans l’expression de N4m du cas m — 3 k + 2, le nombre — (m—£2) par — + (m—3), et comme tout le reste demeure inchangé :
Nam = 6 E4,m+3 (N2m-2+ N2,m-4+...+ No,4+ N2,2) — 2(m-3) — (m-2) mm —6m?+14m—12—9m(m-2)+16 (m-3)+24 (m2)
D'où Erin
E4,m ES
