APPLICATIONS. E4,18 = 15 E4,30 — 108 E

PAU j 0 eC 2

Le raisonnement est le méme que pour m pair et m“4k avec quelques particularités. Tout d’abord, la décomposition Ce HT + + mn) peut être assimilée à l’une des décompositions de la forme (a+ a+a—+b) et ne change rien ici. Par contre, les décompositions particulières sont dans ce cas :

a a a ua

m+4 , m+4 m—4 m—4. . mM—4 m—4 u—2 —?

a tn on Lil.

Et dans l’expression de Nam il faudra retrancher D à cause

dernières, donc (m—4) en tout. D'autre part, il faudra retran-

cher aussi À (m—2) si m—3k +2, 2 m-—-1) sm—3k+l

et £ (m—3) si m—=3k.

1 GS > ,. 4 3 des —— premières décompositions, et 3 ee à cause des

D'où les 3 cas suivants à considérer de nouveau :

Dans ce cas, Nam prend la forme :

Nam = 6 E4,m+ 3 (N2:m-2+ N2m-4+...+ No,4+ No,2) <(m 2)—(m-4) D'où :

CAB 3 Nam — 9 (N2m-2+ N2,m-4+ res L N2,2)+2(m-2)+3(m-4) OÙ 9 (Nom-2 + Nom-4 + + + No,4 + No) — pour m<4k. Mais, par contre, puisque m—4k, Nam est

9 m (m —2) Een comme

donné par la formule (9) :

- m$ — 6 m?+ 14m m°==6 m'+141m NA FE D et 3 NS mer 8 Es m$—6 m°?+ 14 m—9 m (m-2) + 16 (m-2) + 24 (m-4) D'OUErS— E Me nl one 2072 10 — 128 4,m Fe 144

APPLICATIONS. E4,20 — 29 Eas2 — 136 Eu — 411.

soie b)m—3k+ ll.

Il suffit de remplacer, dans l’expression de Nam, — = (m-à) par —+(m-1). D'où:

Nam = 6 E4,m+ 3 (N2,m-2+ N2,m-4+...+ N2,4+ N2,2) — £(m-1) —(m-4) m$ — 6 m°?+ 14 m — 9 m (m-2) + 16 (m-1) + 24 (m-4)

8 ne 2 ml

D'où ä 2 =

APPLICATIONS. Eui6 — 92 (Eiss — 84 0, Ei40 — 297.

CLIS

Dans l’expression de N4m du a) il faut, cette fois, changer —+ (m—2) en — + (m—3), ce qui donne :

Nam = 6 Etm+ 3 (N2,m-2-+ N2,m-4+...+ No,4+ Na,2) — 5 (m-3) — (m-4) m$ — 6 m? + 14 m—9 m (m-2) + 16 (m-3) + 24 (m4)

Im — 15 m° 172 m — 14

D'où : Ein —

Em és

APPLICATIONS. Eii2 — 200 Fiosi—T7 F43e — 200:

Conclusion. — Toutes les possibilités pour m et toutes les décompositions ayant été envisagées, il en résulte que l’on peut calculer E4m pour m quelconque avec l’une des formules obtenues. Le problème pour un à quelconque se trouve de ce fait simplifié, car, avec la formule de récurrence relative à Em, il suffira de revenir jusqu’à Em.

Montrons-le, en effet, en donnant la solution du problème de NAUDE : le calcul de E;,50.

La formule de récurrence : Eim = Eim-i + Ei-1,m; permet d'obtenir la formule de récurrence pratique :

Eim — Eit,mi + Eit,m2i + Eii,m-3i +... 4 Eji,m-xi, OÙ (m—k:i) est le premier nombre inférieur à nr et qui vaut 28-pour«it== 7; 218 pour Get ponE=")

D'où : E,50 — E6,43 + E6,36 + E6,29 + E6,22.