DENON

Le groupe cyclique de degré 6 les répartit en: LL Cirr+s-i

Nic = 4 colonnes cycliques qui sont :

Par contre, le groupe métacyclique pour m — 6 répartit ces

20 combinaisons en 3 systèmes intransitifs qui sont : (9 : (6) + (n) et €).

Plus précisément, on constate que, pour b — 1, chaque colonne cyclique reste inchangée et que pour b —5 : (+) et (e) restent les mêmes, mais que (ô) devient (7) et (7) devient (ô).

Ces constatations vont conduire à l’établissement du :

Théorème 8. — Les m substitutions d’un groupe métacyclique, pour un b fixé, changent une colonne cyclique en une colonne cyclique, différente ou non.

PREUVE. Soient r, r....1i li et 1 +S l+S....r+s deux combinaisons quelconques d’une même colonne cyclique. La substitution | x, a+ bx | change ces deux combinaisons en celles-ci : a+br, a+br, …. a+br; et a+b(r,+s) a+b(r,+s) a+b (r;+s)

ou (a+br,)+bs (a+ br) +bs ……… (a + bri) + Ds ; et on voit que ces deux nouvelles combinaisons appartiennent encore à une méme colonne cyclique. Et en faisant a —0,1,...,(m-1) on obtient les m combinaisons de cette colonne cyclique qui peut évidemment être différente de la colonne initiale ou non. À son tour, ce théorème sera le point de départ d’un développement plus général.

B. COLONNES MÉTACYCLIQUES ET GROUPE R = |x, bx|.

Ce théorème 8 montre que, pour passer d’une colonne cyclique Ci à une autre colonne cyclique Cx, il faut faire agir, sur Ci, les m substitutions |x, a+ bx| avec un b convenablement choisi CCR UNE , MmM—1. En somme, c’est le nombre b qui est la cause du passage d’une colonne cyclique à une autre, ou, plus exactement, les substitutions |x, bt| avec b— 1, b,, ; Py(m)- C’est ce que l’on va établir :

Théorème 9. — Chaque substitution |x, bxx| change une colonne cyclique en une colonne cyclique, différente ou non.