NET SET
PREUVE. En effet, soit la Ag Ag se... Ai-1 Ai colonne cyclique quelconque ::::..........
ci-contre. Par la substitution A+S A +Ss...……. Ai 1+S ai+S OR TE CUERENIENn TE CM NON ETS MAR re
Dx CF Dx A9 ee... Dx Ai—1 Dx Ai
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qui est encore une colonne cyclique, généralement différente de la colonne cyclique initiale. On voit aisément, en effet, que pour bx — 1 (qui est toujours l’un des g(m) nombres b premiers à m) on obtient la même colonne cyclique.
Les y (m) substitutions | x, bXk x | du groupe métacyclique wW— |x, a+bx]| vont donc jouer un rôle important dans le problème proposé et, à leur sujet, on va prouver :
Théorème 10. — Les substitutions | x, bx | constituent un groupe R, d'ordre ç (m), diviseur du groupe métacyclique G (w = |x, a+ bx|) d'ordre m. q (m).
PrEuvE. En effet, l’ensemble des substitutions |x, bx| est tout entier contenu dans le groupe G. Par suite, d’après A. SPEISER (« Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung », p. 7) si la loi du groupe existe pour cet ensemble, ce dernier constituera un groupe R. Or, la loi du groupe existe bien car, si | x, bxx | et |x, bex| sont deux substitutions quelconques de l’ensemble, leur composition : |x, bxx|:1|x, bex| — }x, bux|: | bxx, bebuxX| — |x, bebkx| est encore une substitution de l’ensemble car bebx ou son reste (mod m) est un nombre premier à m puisque be et bx sont premiers à m.
Théorème 11. — Le groupe R = |x, bx]| (b = 1, b:,....., by(m)) change l’une quelconque des Nim colonnes cycliques en œ(m) colonnes cycliques (différentes ou non) constituant un système transitif fermé qui sera appelé une colonne métacyclique.
PREUVE. En effet, soit C, une colonne cyclique quelconque prise dans les Nim. Si on la soumet aux g(m) substitutions du groupe R — | x, bx | elle deviendra successivement : RC CC NE Dei = Cie x Xe .. Ce = (ORE | X, Dx Xe ; .. Con) == (GE | X, by) X | :
Or, ces @(m) colonnes cycliques constituent un ensemble transitif fermé car, si on soumet l’une quelconque de ces colonnes,
soit Cx — C-|x, bx x|, à une substitution arbitraire de R, soit |x, be x|, on obtient encore une colonne cyclique de cet ensemble,
En effet, Cr: |x, be x] = C [x bx x] : [xX,be X| = C- [x, bebx X|.
Et comme be bx, ou son reste (mod m), est l’un des œ (m) nombres b, la colonne cyclique €, : |x, be bx x| est bien dans l’ensemble considéré.
CONSÉQUENCE. Si cette colonne métacyclique contient les Nim colonnes cycliques, alors le groupe R — |x, b x| est transitif par rapport à ces colonnes cycliques. Dans le cas contraire, il existe encore une ou plusieurs colonnes métacycliques différentes, c’est-à-dire un ou plusieurs systèmes, intransitifs les uns par rapport aux autres, vis-à-vis du groupe R.
Cependant, le problème proposé concerne les systèmes intransitifs relatifs au groupe métacyclique et ïil s’agit maintenant d'envisager cette question.
