I. Colonnes métacyeliques complètes et incomplètes

De même qu'il existe des colonnes cycliques complètes, avec m combinaisons différentes, et incomplètes, avec moins de m combinaisons distinctes, il y a également des colonnes métacycliques complètes et incomplètes. Les premières sont constituées de o (m) colonnes cycliques différentes, alors que les secondes en comportent toujours moins. Lorsque i et m sont premiers entre eux, on sait que toutes les colonnes cycliques sont complètes et que Cm om

colonnes métacycliques étaient également complètes, on pourrait

leur nombre est : Nim — . Si, dans un cas fixé, toutes les

affirmer que leur nombre serait : Dim — 2. . Malheureusement, m

un tel cas ne se rencontrera jamais, quels que soient i et m, et on prouvera au contraire qu’il y a au moins une colonne métacyclique incomplèle pour chaque couple (i, m). La détermination du nombre nm Se trouve ainsi ramenée au dénombrement de ces colonnes métacycliques incomplètes. Et, à ce sujet, on a le :

Théorème 13. — Soit une colonne métacyclique incomplète avec ses @ (m) colonnes cycliques non toutes distinctes ; la condition nécessaire pour que chaque colonne cyclique figure p fois est que p divise q (m).

Preuve. En effet, d’après le théorème 11, chaque colonne cyclique joue le même rôle dans son système intransitif ; donc, si l’une d’entre elles figure p fois dans sa colonne métacyclique, elles figurent foutes p fois. Le nombre des colonnes cycliques différentes figurant dans la colonne métacyclique est par suite

de . . Et comme ce nombre doit être entier, il faut que p

divise œ(m). La fonction y(m) va jouer, de ce fait, un rôle important et on va étudier ses propriétés.