II. Propriétés de la fonction y (m

La fonction d'EULER ç (m) est une fonction de la théorie des nombres. Elle exprime, comme on le sait, le nombre des entiers, b, premiers au nombre m et tels que 1 < b< m. Elle peut

Stécniret) On) = 7 (1 =.) où les nombres p sont les facplm

teurs premiers différents de m. Mais, pour ce qui concerne les colonnes métacycliques, œ (m) jouit d’une propriété importante que l’on va établir :

Théorème 14. — Pour m > Z, les o (m) nombres b peuvent

être groupés en *%® couples dont chacun a pour somme m.

PrEuUvE. Remarquons, tout d’abord, que l’on prend ici m > 2 car y (1) n’est pas défini puisque 1 < b < m done, ici, 1 <b <1 est impossible, et, d’autre part, œ (2) — 1. Soit donc m > 2.

On va prouver qu’à chacun des g (m) nombres b il correspond un nombre {m—b) premier à m.

En effet, si b est premier à m on a m-<kb et par suite m—b <kb —b ou m—b=<(k — 1) b ou m-b=K b. Ce'qui prouve bien l’existence d’un nombre (m-—b}), premier à m, dès que b est premier à m et, en même temps, la possibilité de grouper tous les g (m) nombres b en F couples ayant chacun pour somme m, et cela, pour tout m > 2.

REMARQUE. Il résulte, de ce théorème 14, que pour tout m > 2

le nombre @ (m) est pair. On peut le voir aussi sur l'expression de g (m) après l’avoir un peu transformée. En effet, la décompo-

: à) os LaNDAU : Vorlesungen über Zahlentheorie, Erster Band, satz 41.

LS et

T: re

sition de m en facteurs premiers étant : m = p; :p, pue

fonction : œ (m) — m x (1 1) devient : | m

pm) = # pe (1) où p(m) = Pr (Pl).

Et cette dernière expression montre que y (m) est pair dès que

m > 2, car px—1 et pk sont 2 entiers consécutifs. Par contre,

DÉFINITIONS. Deux nombres b” et b”, pris dans les œ (m) nombres b, et tels que b'+b"— m seront appelés complémentaires. De même, deux substitutions | x, b'x| et |x, b”x| du groupe R = |x, bx| avec db’ + b” — m seront dites complémentaires.

IIT. Colonnes evycliques conjuguées.

On a vu au $ 3, théorème 2, que chaque colonne cyclique est complètement fixée par sa caractéristique ; une caractéristique étant une suite d’intervalles qui peuvent subir une permutation circulaire, sans que cette caractéristique change. Mais toute autre permutation engendre, en général, une caractéristique différente ; elle n’est toujours distincte que si les intervalles sont tous différents ou bien si les intervalles égaux sont au nombre de h << (i—1) et disposés d’une façon asymétrique comme on le montrera plus loin. Ainsi, les caractéristiques : €, 62,..., ei-1, ei et ei, ei 1,....., @, €, constituées des mêmes intervalles, mais dans l’ordre inverse, sont en général différentes. Toutefois, j’ai remarqué que deux telles caractéristiques figurent foujours dans la même colonne métacyclique. On va donc établir ce fait et donner aussi un nom à ces caractéristiques.

DÉFINITION. Deux caractéristiques telles que er, e2,..., ir, €i et e;, e;1,..., €, e1 formées des mêmes intervalles, mais dans l’ordre inverse, seront appelées deux caractéristiques conjuguées et les colonnes cycliques correspondantes, deux colonnes cycliques conjuguées.

Théorème 15. — Deux substitutions complémentaires | x, bx| et | x, (m-—b)-x| changent toute colonne cyclique en deux colonnes cycliques conjuguées.

PREUVE. En effet, soit a, a... an... a; 1 a; l’une quelconque des Ci combinaisons. Par la substitution |x, bx| elle devient : ba, ba... bax …. bai1 bai (x), et par la substitution |x, (m-b)x|: (m—b) a, (m—b)a,....(m—b) ax..….(m-—b) ai1 (m—b) a (8).