MAD

Et les éléments correspondants des combinaisons (ax) et (8) ont une somme congrue à 0 (mod m) car bax + (m—b) ax = 0 (mod m). Mais, en réalité, on n’écrit que les restes (mod m) de ces éléments et si on ordonne la combinaison (x) elle deviendra :

Ci Ce C3 eee Ci-e Ci C: (»).

La combinaison (8) prendra, elle aussi, un autre aspect si on lui fait subir la même opération. On va toutefois écrire cette nouvelle combinaison, sans l’ordonner, mais en plaçant ses éléments au-dessous des éléments correspondants de (+). Ce qui donnera :

m—C1 m—-C: m—Cz; m—Ci-2 m—Ci1 m—Ci (ô) puisque la somme des deux éléments correspondants de (y) et (ô) reste encore congrue à O0 (mod m). Or (7) est ordonnée au sens habituel, donc :

C; << (D <a (QE LE reiete Qt DE DSL UC

Et par suite: m—C, > m—C, > m—C, >... ou n-G<m-Cum-G << «<Lm=C< m—C, < m—C,.

Et la combinaison (ô), ordonnée, s’écrira :

m— C; m—Ci1 m—C;-e ssnen m— C3 m— Ce m— Ci (e).

Comparons maintenant les caractéristiques de (+) et (e). Soit

CON Eee ei, ep1, @ Celle de (y).

Par définition, on a donc :

CORRE Drq ES CARRE DES DR GR EUR 7 ;

ere = Cri — Go; epi = G— C1; à = (m+C)—G.

Les intervalles de la combinaison (e) sont, d’après cela :

(mr) = m=D UGU— CG ren (m— C2) — (m—Cs) = Cia — Ci2 = &2 (m-CGs) — m-Ge) = Go CS — es

(m—C;) — (m—C) — (m—C) — (m—C;) = CG — CG = © (m—C) — (m—-C) = G—G=e m + (m—C) — (m—C) = (m+C) — CG = «&.

Ainsi, la caractéristique de la colonne cyclique contenant la combinaison (e) est :

(RES EN ER ST Egs Co Cp Ci ou en permutant circulairement e; :

CR NCIET CE 2 RCE rence rs AG. NGC Et cette caractéristique est constituée des mêmes intervalles

que celle de la colonne cyclique contenant la combinaison (+), mais ces intervalles y figurent dans l’ordre inverse. .

Êe

Ce théorème a des conséquences importantes qui vont permettre de faciliter la recherche des colonnes métacycliques incomplètes et que l’on va envisager.

Théorème 16. — Chaque colonne métacyclique est toujours constituée de Pr paires de colonnes cycliques conjuguées, toutes

différentes ou non.

PREUVE. En effet, d’après le théorème 11, une colonne métacyclique s'obtient en faisant agir le groupe R — |x, bx| sur une colonne cyclique arbitraire. On obtient ainsi un système intransitif de o (m) colonnes cycliques, différentes ou non. Mais, d’après le théorème 14, les œ (m) nombres b se répartissent en en couples complémentaires auxquels correspondent les 4 substitutions complémentaires du groupe R. Et ces dernières engendrent, d’après le théorème 15, E 00) paires de colonnes cycliques conjuguées, qui sont différentes ou non, selon que les œ (m) colonnes cycliques sont toutes distinctes ou pas.

À son tour, ce théorème amène le suivant :

Théorème 17. — Chaque fois qu'une caractéristique et sa conjuguée sont identiques (c’est-à-dire que si on écrit les intervalles dans l’ordre inverse, on ne fait que les permuter circulairement), les

colonnes cycliques correspondantes appartiennent à une colonne

métacyclique qui contient au plus de colonnes cycliques différentes.

Preuve. En effet, d’après le théorème 2, à chaque colonne cyclique correspond une caractéristique bien déterminée, dont les intervalles sont dans un: ordre fixé, à une permutation circulaire près. Donc, dès que deux caractéristiques sont identiques, les colonnes cycliques correspondantes le sont aussi. D'autre part, le théorème 11 nous permet d’affirmer que si, dans une colonne métacyclique, deux colonnes cycliques sont identiques, elles le sont foutes, deux à deux. Donc, dans le cas considéré, chaque colonne cyclique est identique à sa conjuguée ; et il y a bien au plus 7%. colonnes cycliques différentes dans une telle colonne métacyclique.

On va maintenant appliquer ce théorème dans un cas particulier et en déduire le :

Théorème 18. — Quels que soient i el m, les nim Colonnes mélacycliques ne sont jamais toutes complètes.

Preuve. En effet, parmi les N;n Colonnes cycliques, il y a

= Die

toujours la colonne cyclique de caractéristique 1, RE Pa . {= m—(i—1). Et comme la caractéristique de la colonne cyclique conjuguée n’est autre que m—(i—1), 1, ...… ,1,1,1 ou en permutant circulairement 1,1,1,....., 1, m—(i—1), elle est identique à la première. Par suite, d’après le théorème 17, une telle colonne cyclique fait partie d’une colonne métacyclique qui contient au plus ro colonnes cycliques distinctes.

Les propriétés générales de ce $ 7 vont maintenant permettre de calculer le nombre de colonnes métacycliques pour i — 1, 2, 3, et 4 ; avec m quelconque pour i — 1, mais avec m premier seulement pour i = 2, 3, 4.

$ 8. Détermination de n1,m pour m quelconque.

On sait que C — m. D'autre part, le groupe cyclique de degré m change l’un quelconque des m éléments 0, 1, 2,....,m—1, en ces m éléments ; donc les C! combinaisons se répartissent en une seule colonne cyclique ; Nim — 1. Et le groupe métacyclique de degré m. y (m) change cette colonne cyclique y (m) fois en elle-même pour donner une colonne métacyclique unique. D’où :

Théorème 19. — Quel que soit m on a : | Dim = Î |

Et cette colonne métacyclique unique contient œ (m) fois la colonne cyclique constituée des m éléments : 0, 1, ‘in 1

$ 9. Détermination de n2m pour m premier.

Avant de calculer nm pour m premier on va prouver un théorème valable pour m quelconque.

Théorème 20. — Pour tout m, premier ou non, chacune des D2,m Colonnes métacycliques contient, au plus, ? om) colonnes cycliques distinctes.

PREUVE. En effet, d’après le théorème 3, le nombre N;im des colonnes cycliques est égal au nombre de décompositions de m en sommes de i nombres, différents ou non, deux décompositions étant distinctes, si elles ne s’obtiennent pas par permutation

TC res

circulaire de leurs termes. Or, le nombre de façons d'écrire m comme la somme de deux nombres, avec les conditions indiquées, s'obtient en écrivant : 1+ (m—1) ; 2+(m—2) ; 3-+ (m—3) ;..….. Et à ces décompositions correspondent les caractéristiques suivantes des colonnes cycliques : 1, m—1 ; 2,m-—2 ; 3, m—3 ;.... Mais les colonnes cycliques, conjuguées de celles-ci, ont comme caractéristiques m—1, 1; m—2, 2; m—3, 3;... Et ces dernières, qui s’obtiennent des premières par permutation circulaire, caractérisent donc les mêmes colonnes cycliques. De plus, d’après le théorème 16, 2 colonnes cycliques conjuguées font partie d’une

même colonne métacyclique. Et, d’après le théorème 17, cette colonne métacyclique contient bien, au plus, ? En colonnes cycliques distinctes.

On va dès lors envisager m premier et établir le :

Théorème 21. — Pour tout m, premier, on a : Dom —

Et cette colonne métacyclique unique contient exactement

P(m) m— 1 : pete , — , Colonnes cycliques différentes.

Preuve. En effet, soit, comme ci-dessus, les Nom caractéristiques suivantes avec m premier :

er ee ti Es Fe : m—i1, 1, correspondant aux N2m Colonnes cycliques dont les têtes de colonnes peuvent s’écrire respectivement :

OMO2 SOS ET. ; O0 (m—1).

Or, le groupe R — |x, bx| change la première combinaison 01 successivement en 01; 02; 03; 0m) pour b=1"273

Re ,m—1 (m premier). Et ce groupe changerait foute la première colonne cyclique en toutes les autres de la même façon. Mais, d’après le théorème 11, toutes ces colonnes cycliques obtenues avec ce groupe R — |x, bx| appartiennent à une même colonne métacyclique. Et cette colonne métacyclique unique contient g(m) —m-—1 colonnes cycliques conjuguées deux à deux et donc, ici, identiques deux à deux à cause du théorème 20. Au contraire, deux colonnes cycliques non conjuguées sont toujours différentes

. rte | LA et il y en a ainsi 7% = ET distinctes.

REMARQUE. On sait, en effet, que si i et m sont premiers entre i i —1 EUX Non — Cm — NE et, ici, avec m premier : Nom — mt m 2

comme on vient de l’obtenir.

$ 10. Détermination de n3m pour m premier.