I. Propriétés générales

Avant d'aborder le cas particulier de i — 3, on va établir une propriété valable pour i quelconque et m premier ; propriété qui sera utilisée souvent, aussi bien pour le calcul de n3m que de N4,m-

Théorème 22. — Pour tout m premier, chacune des nim colonnes métacycliques contient au moins une colonne cyclique dont la caractéristique possède, au moins une fois, l’intervalle 1.

PREUVE. Pour cela, on va tout d’abord montrer que chacune des N;in Colonnes cycliques contient au moins une combinaison avec l’élément 0. En effet, soit a, & .……… Ati Ai-1 A; un i—-uple quelconque. Une substitution quelconque du groupe cyclique la change en a,+s a+ 5... Ax + S A1 + S A+Ss.

Et pour un élément quelconque, soit ax, 11 y aura infailliblement un s parmi 0, 1, 2, ….…., m—1 tel que ax + s = 0 (mod m). Soit donc 0 d: d3 .……… di1 di une telle combinaison. Le groupe R = }x, bx| la change en g(m) — m—1 combinaisons de la jorme0bdbarr bd;: bd; avec b — 1, 2,3,....,m—1, combinaisons qui appartiennent toutes à une même colonne métacyclique, d’après le théorème 11. Et je prétends alors que pour l’un des nombres b, soit bx, on aura forcément bx d2 = 1 si m est premier. En effet, d, qui est l’un des éléments 1, 2, 3,...., m—1, est inférieur à m, donc premier à m. Il en est de même pour bx. Par suite, les produits bd,, ou leurs restes (mod m), constituent un système réduit de restes (mod m) et pour l’un des b, soit bx ,on a assurément bx d; = 1 (mod m). Ainsi, dans toute colonne métacyclique, il existe une combinaison de la forme 0 1 d, d4......di 1 di qui entre dans une colonne cyclique de caractéristique 1, e, e3,.…. …, © possédant donc au moins une fois l'intervalle 1.

Jusqu'ici, par les substitutions du groupe R — |x, bx|, on a toujours transformé les combinaisons des colonnes cycliques. Maintenant, on va opérer directement sur les seules caractéristiques de ces colonnes cycliques et établir à ce sujet le :

Théorème 23. — Deux substitutions complémentaires du groupe R— |x, bx| changent l’une quelconque des Nam colonnes cycliques en deux colonnes cycliques conjuguées (théorème 15), et elles