I. bd << m. Alors la combinaison 0 b bd est directement

ordonnée et la caractéristique de sa colonne cyclique est : b, b (d—1), m—bd (B).

19 Or, dans ce cas, la substitution |x, bx| transforme précisément (a) en (B). En effet, cette transformée de (a) est : b, b(d-1), b (m-d) et il faut écrire seulement les restes (mod m) de ces produits. Or b (d-1) ne change pas, car si bd <<m, b (d-1)<m. Par contre, b (m—d) qui est bm—bd s’écrira m—bd car, avec bd<m, on a 0<m—bd<m. Cette transformée s’écrira donc b, b (d—1), m— bd et c’est exactement la caractéristique (B).

20 Au contraire, la substitution |x, (m-—b) x| transforme (x)

en une caractéristique dont la somme des intervalles vaut 2 m

et n'entre pas en ligne de compte. En effet, («) devient : m—b, (m—b)-(d-—1), (m—b) : (m-d)

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où il faut remplacer les produits par leurs restes (mod m). Or, (m—b) - (d—1) = (d—1) m—b (d—1) dont le reste (mod m) est m—b (d—1) car on est dans le cas bd<m donc b-(d—1)<m et 0<m—b (d—1)<m. De même, (m—b) (m—d) — bd + (m—d—b) m et le reste (mod m) est tout simplement bd puisqu’ici 0<bd<m. Finalement, la caractéristique transformée de («) par | x, (m—b) x} s'écrit : m—b, m—b (d—1}), bd.

Et la somme de ses intervalles est bien 2 m.

II. bd > m. Alors, le reste (mod m) de bd sera bd — K m tel que 0 < bd — Km < m.

On va considérer deux cas à nouveau :

A. bd-— Km —bh. Alors, la combinaison 0 b bd ordonnée prend la forme 0 b (bd— Km) et la caractéristique de sa colonne cyclique est: b, b(d—1) — Km (K+F1) m—bd (r).

19 On va prouver que cette caractéristique s’obtient encore en transformant («) par la substitution |x, bx|. En effet, (x) s’écrit alors : b, b (d— 1), b (m—d) où il faut garder les restes (mod m) des produits. Or, le reste (mod m) de b (d— 1) est b (d—1) — K m car on a, par hypothèse, bd—K m > b d’où : b (d—1) > Km; de plus, b (d—1)—K m est inférieur à m car, par hypothèse encore, (bd— K m) < m. D’autre part, le reste (mod m) de b (m—d) n’est autre que {K + 1) m—bd parce que b (m—d) — bm—bd et bm doit être remplacé par (K + 1) m car, de bd—K m > b, on déduit bd > km et, de bd —k m < m, on tire bd < (K +1) m. Ainsi K m < bd < (K +1) m et 0 < (K +1) m — bd < m. Finalement, la transformée de la caractéristique (a) s'écrit b, b (d—1) — K m, (K +1) m — bd et c’est exactement la caractéristique (y).

20 Au contraire, la substitution | x, (m—b) x| change («) en une caractéristique dont la somme des intervalles vaut 2 m et qui est donc à exclure. En effet, («) devient alors : m— b, (m—b) (d— 1), (m—b) (m—d) où les produits sont à remplacer par leurs restes (mod m). Or, le reste (mod m) de (m—b) : (d—1) est : (K+1)-m—b:(d—1) car (m—b) (d—1) — (d—1)m—b(d—1) et (d—1) : m doit être remplacé par (K +1)-m parce que, si bd—K mb (par hypothèse), Km <b(d—1) et, comme bd—K m < m, (K +1) m > bd et, a fortiori, (K+1)m>b (d—1). Ainsi Km<b(d-1)<(K+1)m et on a bien 0 <(K+1) m—b (d—1) < m.

D'autre part, le reste (mod m) de (m-b) - (m-d) est bd K m.

rt, Re

En effet, (m-b) - (m-d) = bd — (b + d — m) m et (b+d-—m)-m doit être remplacé par K : m car on a par hypothèse : 0 < bd — K m < m.

La caractéristique transformée de (x) par la substitution |x, (m—b):x| s'écrit donc finalement :

m—b, (K+1) m—b (d—1), bd—Km et la somme de ses intervalles est bien 2m.

B. bd—Km <bhb. La combinaison O0 b bd s'écrit alors en l’ordonnant : O0 (bd — K m) b et sa colonne cyclique possède la caractéristique suivante :

bd— Km, Km—b (d— 1), m—b (à)

1° Cette fois, la transformée de («) par la substitution |x, bx| ne donne pas (5) mais une caractéristique dont la somme des intervalles est 2m. En effet, cette transformée est :

b, b (d— 1), b (m—d) où les produits sont à remplacer par leurs restes (mod m). Or, le reste (mod m) de b (d—1) est b f{d—1) (K—1) m car, d’une part, bd — K m<b donc b (d— 1) < K m et, d’autre part, de bd> Km on déduit bd—d>=Km-—m car d<m d’où b(d—1)=>(K—1)m. Par suite on a (K—1)m<b(d—-1) <Km donc 0 < b (d—1)—(K—1)m <m. Quant à b (m—d) son reste (mod m) est (K+1)m-—bd car bd> Km et comme bd—Km<m on en déduit bd <(K+1)m. Donc Km <bd<(K+1)-:m et par suite 0<(K+1) m— bd<m. Ainsi la caractéristique transformée de («) par la substitution |x, bx| s'écrit : b, b(d— 1) — (K—1) m, (K+1) m— bd

et la somme de ses intervalles est bien 2m.

20 Dans ce cas, c’est la substitution |x, {m—b})x| qui transforme («) en une caractéristique dont la somme des intervalles vaut m et qui sera du reste la caractéristique conjuguée de (ô) soit : m—b, Km—b (d— 1), bd— Km (e).

En effet, («) devient alors :

(m—b), (m—b) (d—1), (m—b) : (m—d) où les produits sont à remplacer par leurs restes (mod m). Aïnsi (m—b) (d—1) deviendra K m—b (d-1) car (m—b) (d-1) — (d—-1) m-b (d-1) et (4-1) m doit être remplacé par Km parce que, de bd-K m<b, on déduit b(d-1) <K m et, de bd > K m, on tire bd-d>Km-—m ou b (d-1) >(K-1) m. Par suite (K-—1) m < b (d-1) < Km et 0=K mb (d—1)<m. D'autre part, le reste (mod m) de {m—b) - (m—d) est bd—K m. En effet, (m—b) - (m—d) — bd—(b+d—m)m et (b+d—m)m est à remplacer par

Km car, par hypothèse, on a 0 < bd— Km <m. Ainsi E caractéristique transformée de (x) s'écrit :

m—b, Km—b(d—1), dd—Km et c’est la caractéristique (£) comme on l’a prétendu.

Remarque. Ce théorème 23 est établi en partant de la combinaison particulière 014 mais, comme dans chaque colonne cyclique chaque i — uple joue le même rôle et qu’il en est de même pour toute colonne cyclique dans sa colonne métacyclique, ce théorème se trouve démontré d’une façon générale et pour m premier ou non.

Théorème 24. — Pour obtenir toutes les caractéristiques des colonnes cycliques de l’une quelconque des ns Colonnes métacycli-

ques, il sufjit de transformer l’une de ces caractéristiques par toutes les substitutions du groupe R = |x, bx], de conserver les re d’entre elles qui ont m comme somme de leurs intervalles et de Lur

adjoindre les ?® caractéristiques conjuguées.

PREUVE. En effet, d’après le théorème 23, deux substitutions complémentaires du groupe R — |x, bx| changent toute colonne cyclique C en 2 colonnes cycliques conjuguées dont l’une d’entre elles a une caractéristique obtenue en transformant directement la caractéristique de la colonne cyclique C par l’une ou l’autre de ces deux mêmes substitutions complémentaires. Par suite, des g (m) substitutions du groupe R — |x, bx| il n’y en a que PP non complémentaires qui peuvent transformer la caractéristique de C en = em) caractéristiques dont la somme des intervalles vaut m. Et les thédrèmes 23 et 11 nous montrent que ces Fe caractéristiques fixent re colonnes cycliques d’une même

colonne métacyclique. Le théorème 15 nous fait dire que ces colonnes cycliques ne sont pas conjuguées entre elles. Et enfin, d’après le théorème 16, il suffit d’associer à ces colonnes cycliques (ou caractéristiques) leurs conjuguées pour obtenir les y (m) colonnes cycliques de la colonne métacyclique.

Théorème 25. — Le nombre des substitutions du groupe R = |, bx | qui changent une colonne cyclique en elle-même est le même que celui de ces substitutions qui transforment sa caractéristique en elle-même ou en sa conjuguée.

PREUVE. En effet, d’après le théorème 23, si une caractéristique est transformée en elle-même ou en sa conjuguée, elle l’est par l’une ou l’autre de deux substitutions complémentaires.