I. Les deux types de colonnes métaeycliques

On sait que n4m Sera obtenu lorsqu'on connaîtra le nombre des colonnes métacycliques incomplètes et la nature de celles-ci. Or, les premières colonnes métacycliques de ce genre à envisager sont celles qui contiennent des colonnes cycliques conjuguées à elles-mêmes. Et les caractéristiques de ces dernières sont de la forme e’, e, e”, e où e, e’, e, e”, c’est-à-dire qu’elles possèdent deux intervalles non consécutifs égaux. On va du reste l’établir :

Théorème 33. — La condition nécessaire et suffisante pour que l’une des n4m Colonnes métacycliques ne possède que des colonnes cycliques conjuguées à elles-mêmes ‘est que les caractéristiques de ces dernières aient deux intervalles non consécutifs égaux.

PREUVE. 1° La condition est nécessaire. En effet, une colonne cyclique est conjuguée à elle-même si sa caractéristique l’est également, c’est-à-dire si e:, e,, e4, e, est identique à e,, es, e, @& à une permutation circulaire près. Et, pour cela, on doit avoir Soit €j — €3, SOit € — es. De fait, dans le premier cas, e,, e., e;, e est bien identique à e,, e,, e,, e, qui est, en permutant circulairement, e,, e.,, e, e,. De même, dans le deuxième cas, on a Ex Co Cas © qui est bien identique à e,, e3, &, e,. Au contraire, on vérifie immédiatement que si e, — &, ou e,; — e, la conjuguée de e;, @&, €; €, est toujours différente de e,, e., es, e4.

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20 La condition est suffisante. En effet, si e, e’, e, e” est la caractéristique de i’une des colonnes cycliques, celle de la conju- quée est e”, e, e’, e, c’est-à-dire e, e’, e, e”.

D'autre part, d’après le Théorème 11, si l’une des colonnes cycliques d’une colonne métacyclique est conjuguée à elle-même, les p(m) colonnes cycliques de ce système intransitif sont conjuguées à elles-mêmes automatiquement. Le théorème 33 est ainsi démontré complètement.

Il est à noter également que les n4m Colonnes métacycliques peuvent ainsi être réparties en deux catégories distinctes : celle dont les colonnes métacycliques ne contiennent que des colonnes cycliques conjuguées à elles-mêmes et celle constitutée de toutes les autres colonnes métacycliques. Et, d’après le théorème 33, cette répartition peut se faire ainsi :

a) Colonnes métacyceliques du type 1: celles dont les colonnes cycliques ont des caractéristiques possédant deux intervalles non consécutifs égaut.

b) Colonnes métacyeliques du type 2 : toutes les autres ne possédant pas cette propriété.

IT. Colonnes métacycliques du type 1.

Comme m est premier, le théorème 22 permet d’affirmer que chacune des n4m Colonnes métacycliques contient au moins une colonne cyclique dont la caractéristique possède au moins un intervalle égal à 7. Mais, avec les colonnes du type 1, on peut démontrer davantage :

Théorème 34. — Avec m premier, chaque colonne métacyclique du type 1 contient au moins une colonne cyclique dont la caractéristique possède deux intervalles non-consécutifs égaux à 1.

PREuUvE. En effet, soit 1, g, h, g avec g <h 1 la caractéristique d’une colonne cyclique, choisie dans une colonne métacyclique du type 1. Une telle colonne cyclique renferme entre autres la combinaison : 0.1. (g+1).(m—g) dont la caractéristique est bien 1, g, h, g carh—=m—(2g+1). La substitution |æ, bx| change cette combinaison en : 0.b.b {g+1).b(m—39) où les produits sont à remplacer par leurs restes (mod m). Et on sait que cette nouvelle combinaison entrera dans une colonne cyclique de la colonne métacyclique envisagée. De plus, sa caractéristique sera de la forme 1, p, 1, q si, en particulier, on a : b (g+ 1) = 1. En effet, b (m—g) = —bg. Or, de b(g+1)=1

on tire bg = 1—b et —bg=b—1. Par suite, la combinaison : 0. b. b(g+1).b (m—g) s'écrit, ordonnée : 0. 1. (b — 1). b. Et sa caractéristique est : 1, b—2, 1, m—b, donc de la forme 1,p, 1,q. D'autre part, il est toujours possible de trouver un b tel que b (g+1) = 1 car (g+1) < m, donc (g+1) est premier à m et les y(m) produits b (g+ 1) constituent un système réduit de restes (mod m). On va maintenant montrer que, dans les q (m) caractéristiques de l’une des colonnes métacycliques du type 1, une telle caractéristique de la forme 1, p, 1, q n’est jamais seule.

Théorème 35. — Avec m premier, chacune des colonnes métacycliques du type 1 contient exactement 4 colonnes cycliques, différentes ou non, qui possèdent une caractéristique avec deux intervalles non consécutifs égaux à I.

Preuve. Soit la colonne cyclique, de caractéristique 2, p, 1, q, contenant en particulier la combinaison 0.1. (p+1). (p+2). Par la substitution |x, bx| cette dernière est transformée en la combinaison : 0. b. b (p+ 1). b(p+2£2) («) qui appartient à une colonne cyclique de la même colonne métacyclique. Il s’agit de prouver qu’il existe 4 nombres b, exactement, qui conduisent à une combinaison (x) dont la caractéristique possède deux intervalles 1, non consécutifs. Il y a évidemment b — 1 et b—m—1, et le problème consiste à trouver les deux autres. Pour cela, il faut remplacer, dans (x), les produits par leurs restes (mod m) et envisager toutes les possibilités qui donnent à (x) une caractéristique de la forme 1, p, 1, q.

À. b(p+1) = 1. Alors b (p+2) devient b+1. Et comme b<m—1 on a:b+1<m. Par suite («) s'écrit : 0. 1. b. (b+1) dont la caractéristique est : 1, b— 1, 1,m—{(b+1) qui est bien dela forment D; t'a:

B. b(p+ 2) = 1. Alors («) s'écrit, ordonnée, soit 0.1.b. b(p+1) soit 0.1. b (p+1).b.

19 Soit 0.1. b. b{p+1). Alors la caractéristique sera de la forme 1, p, 1, q si b(p+1)—b= 1 ou bp = 1. Mais avec b (p +2) = 1 cela donne 2b = 0: ce qui est impossible car 2 et b sont inférieurs à m donc premier à m qui est premier.

20 Soit 0.1.b(p+1).b. Cette fois, on doit avoir b-b(p+1)=1 ou. bp =-1"; ce qui-donne/tavec b\(p 2) = 1 02b=2Mou 2 (b—1) = 0: ce qui est impossible comme ci-dessus.

C. b(p+1) =1. Dans ce cas, b (p + 2) s'écrit b+1 et (x), ordonnée, devient : 0. b.(b+1).(m—1) dont la caractéristique est : b, 1, m—(b+2),1-donc de la forme 1, p, 1, q.

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D. b(p +2) = —1. Alors («) devient, ordonnée, soit 0. b. Nas (m—1), soit 0.b (p+1).b. (m1 )

19 Soit 0.b.b(p+1).(m—1). Pour avoir deux intervalles 1 non consécutifs, dans la caractéristique, il faut Eu que : b(p+1)—b= 1 ou bp = 1. Mais comme b (p +2) = cela entraînerait 2b = —2 ou 2 (b+1)=0: ce quin est pe us possible car b<m—1 donc (b+1)< m.

29 Soit 0.b(p+1).b.{(m—1}). Cette fois, on doit avoir, de plus, b—b(p+1)=1 ou bp=—1; et alors b (p +2) = — devient 2b=0: ce qui est impossible comme on l’a déjà vu.

Toutes les possibilités étant épuisées pour obtenir deux intervalles 1 non consécutifs, il en résulte que, à part 1 et m—1, les seuls nombres b répondant à la question sont tels que : b (p+1) = 1 ou b (p+1) =—1I.

Or, pour un nombre p fixé, il existe toujours un nombre b et un seul tel que b (p+1) = 1 et un autre b et un seul tel que b(p+1)= —1, car les y(m) produits b (P + 1) constituent un système réduit de restes (mod m). Soient b’ et b” ces deux nombres b tels que b’ (p+1) = 1 et b”’(p+1) =—1. On en déduit : (b’+b”) (p+1)=0. Ou b’+b”=0. Ou b’+ Bb" — m. On vérifie ainsi que ces deux nombres b sont complémentaires comme c'était à prévoir.

Ainsi, 1l est bien établi que chaque colonne métacyclique du type 1 contient {oujours 4, et uniquement 4, colonnes cycliques de caractéristiques 1, p, 1, q identiques 2 à 2 ou toutes les 4. Reste à savoir sous quelle condition ce dernier cas intervient et combien il y a de telles colonnes métacycliques ?

Théorème 36. — Avec m premier, il y a au plus une colonne

métacyclique du type 1 qui contienne = colonnes cycliques différentes.

PREUVE. En effet, il faut pour cela qu’il existe une colonne métacyclique, au plus, du type 1 où les colonnes cycliques figurent 4 fois. Donc, d’après le Théorème 35, la colonne cyclique de caractéristique 1, p, 1, q doit être changée en elle-même par les 4 substitutions [x bx | AMÉCHOEEUR Le m— 1; et b’ et b” tels que : b’ (p+1)=1 et b” p+ 1) = — 1. C’est évident pour b — 1 et b—m—1 ; et cela adviendra aussi automatiquement pour b” si cela arrive pour b” qui lui est complémentaire. Il suffit donc d’envisager le cas À du théorème 35 et de chercher à quelle condition la caractéristique 1,b—1,1,m—{(b +1) n'est autre que la caractéristique 1, p, 1, q. Il y a 2 possibilités :

LHÉROTEES

19 b—1—p ou b—p+1 et alors, forcément, m—(b+1)—q. Mais, si b —p+1, la congruence b(p+1)=1 devient (p+1}= 1 ou p?+2p = 0 ou p (p+2) = 0 : ce qui est impossible car p et p+2 sont inférieurs et donc premiers à m premier.

20 m— (b—+ 1) — p et alors, automatiquement, b—1 — q. Mais, si m—(b+1) — p, b—= m—(p+1) ou b= —(p+1) et alors la congruence b (p+ 1) = 1 devient (p+ 1)? = —1. Telle est la condition cherchée. Et pour prouver qu'il y a une