er
colonne métacyclique, au plus, possédant —— colonnes cycliques
distinctes, il reste à démontrer que la caractéristique 7; p, 1, q telle que (p+ 1)? = — 1 est unique quand elle existe. Or, c’est bien le cas, car si on admet qu'il en existe une autre 7,p”, 1, q' telle que l’on ait aussi: (p'+ 1) = —1, on en déduit, avec (p+1)Ÿ=—1, (p+1—(p+1)=0, ou (p—p'): (p+p'+2)=0 ou p+p'+2=0 car (p—p') <m donc premier à m qui est premier. Or, on sait que p+q+2—m ou p+q+2=0. Et, en comparant avec p+p’+2=0, on en déduit p'—q. Il en résulte donc, pour la caractéristique 1, p, 1, q, que si (p+1)} = —1 on a aussi simultanément {q+ 1) = — 1 et que p et q sont les deux seules solutions de la congruence (x + 1) = — 1. Par suite, la colonne métacyclique en question est bien unique quand elle existe. Mais à quelle condition existe-t-elle ?
Théorème 37. — La condition nécessaire et suffisante pour
que, avec m premier, i y ait une et une seule colonne métacyclique
du type 1 à contenir = colonnes cycliques distinctes est que UD 4 ycuq q
m4 KT.
PREUVE. 19 La condition est nécessaire. Si une colonne métacyclique renferme a. colonnes cycliques différentes, c’est que les @ (m) — m—1 (avec m premier) colonnes cycliques de cette colonne métacyclique sont identiques 4 à 4. Et pour cela,
il faut que m—1 — 4 K ou m—4K+1.
20 La condition est suffisante. C'est-à-dire qu’il faut démon-
trer l’existence d’une colonne métacyclique avec = colonnes
cycliques distinctes, chaque fois que m premier est de la forme 4 K+1. Et, pour cela, on va montrer que le nombre des colonnes métacycliques du type 1 est entier ou non selon que l’on suppose ou non l’existènce d’une telle colonne métacyclique avec m premier et m — 4 K + 1. En effet, d’après les théorèmes 35 et 36, il n’y à que deux possibilités pour les colonnes métacycliques du type 1 : ou (p+1})?=< — 1 et elles sont toutes constituées
AT Ce
de >! colonnes cycliques distinctes ; ; où (p+1}?=—1 et alors elles contiennent toutes Sa ! colonnes cycliques différentes, sauf une qui en possède “—. On va considérer séparément ces
deux cas :
1% cas : (p+1)? =< — 1. Toujours d’après les théorèmes 35
et 36, dans les — colonnes cycliques différentes de chaque
colonne métacyclique, il y a deux et deux seules colonnes cycliques dont les caractéristiques possèdent 2 intervalles 1, non consécutifs, de la forme 1, p, 1, q. Par suite, le nombre des colonnes métacycliques sera, dans ce cas, égal à la moitié du nombre des colonnes cycliques de caractéristiques 1, p, 1, q. Or, ce dernier est égal au nombre de façons d’écrire m— 2 comme la somme de 2 nombres différents car on a toujours :
1+p+1+q—m donc p+q—m—2.
Et ce nombre a Fe Gone au $5; pour m impair, on a trouvé,
en effet, que Em — . Or, ici, m premier est impair, de même m -3
que m—2 et on L En = aie le nombre des colonnes SÉETPREUNES du type 1 Fi 107: . Etsim=—4kK+1 = = ë qui is pas entier, Ce qui
est impossible.
2e cas : (p +1)? = —1. Cette fois alors, chacune des colonnes métacycliques du type 1 contient Z et Z seules colonnes cycliques distinctes de caractéristiques 1, p, 1, q, sauf une qui n’en contient qu’une. Il en résulte que le nombre de ces colonnes métacycliques du type 1 est ici de:
m—3 ea VD EP Le OR NO an ie Et pour tout m de la forme 4 K + 1 ce nombre est bien entier. Le théorème est ainsi établi et la démonstration ci-dessus permet, de plus, l’énoncé du :
| ENS 38. — Avec m premier et m—=4K—1, il y a MS colonnes métacycliques du type 1 et elles contiennent toutes =
ons cycliques distinctes.
Si m est premier et si m or ilivea = colonnes métacycliques du type 1, dont = avec + colonnes cycliques Cole cycliques distinctes.
La Re du théorème 37 amène aussi une propriété sur les congruences.
Gite
Théorème 39. — Soit m premier et h tel que 2<<h <m—é, la congruence h? = — 1 (mod m) a toujours 2 et 2 seules solutions hetm—hsim—4K+1, et aucune si m—4K—1l.
Preuve. En effet, on sait que 1+p+1+q—m donc Dp di m2 et il atété démontré que p DIN a les 2 seules solutions p+1 et m—(p+1) si m—4K+1, et aucune si m — 4 K — 1. Et en posant h — p + 1 on a bien le théorème 39.
REMARQUE. Il est à noter que cette propriété des congruences peut s'établir directement. En effet, le critère d'EULER®) nous permet d’affirmer qu'avec m > 2 et m premier à U :.
19 Si = —= 1 (mod m), alors h? = U (mod m) a toujours 2 solutions.
20 Si 4" —=—1 (mod m), alors h? = U (mod m) n’a jamais de solutions.
Or, dans notre cas, U — — 1 et on voit bien que : m—1 s a) 1) 2 =1isi EE =2Koum—4K+1.
m—i1 D) (Der SN = 2 K— Louvn —2KeU:
On va maintenant passer à l’étude de l’autre type de colonne métacyclique.
