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Théorème 41. — Avec m premier, toutes les colonnes métacycliques incomplètes, si elles existent, qui se trouvent parmi toutes les colonnes métacycliques du type 2, sont constituées de en colonnes cycliques distinctes.

PREUVE. — En effet, d’après le théorème 40, il n’y a que deux possibilités pour l’une quelconque des colonnes métacycliques du type 2, prise parmi les n4m.

1° L’une des colonnes cycliques de caractéristique 1,r,s,t est telle que le couple fr,s) satisfait deux et deux seuls des systèmes

de congruences de (2) à (8). Alors la colonne cyclique est trans-

formée en elle-même par les trois substitutions |x, bx| avec b — 1 et les deux nombres b différents correspondant aux deux systèmes de congruences compatibles satisfaits : elle figure donc trois fois dans sa colonne métacyclique. Or, d’après le théorème 11, il en sera de même pour chaque colonne cyclique et, par suite, la colonne métacyclique envisagée contient bien — ! colonnes cycliques différentes.

20 Il est impossible de trouver une colonne cyclique de caractéristique 1,r,s,t telle que le couple fr, s) satisfasse l’un quelconque

des systèmes de congruences de (2) à (8). Alors, une colonne

cyclique de caractéristique 1,r,s,t est, dans ce cas, changée en elle-même par la seule substitution |x,x|: elle ne figure donc qu’une fois dans sa colonne métacyclique. Et, comme il en est de même pour chaque colonne cyclique, la colonne métacyclique considérée est complète.

Il reste à savoir, maintenant, si dans les colonnes métacycliques du type 2, il y a toujours des colonnes métacycliques incomplètes ?

Théorème 42. — La condition nécessaire et suffisante pour que les colonnes métacycliques du type #, avec m premier, ne soient pas toutes complètes est que m—=3K+1.

Preuve. — 1° La condition est nécessaire. En effet, d’après le théorème 41, si une colonne métacyclique du type 2 est incomplète, elle contient obligatoirement 1 colonnes cycliques distinctes. Mais cela n’est possible que si - est un entier K, c’est-à-dire si l’on a = —Rooum—S K°-+ 1.

20 La condition est suffisante. Soit donc m = 3 K + I ; on va alors prouver qu’il n’est pas possible que toutes les colonnes