MATE

métacycliques du type 2 soient complètes. Pour cela, on va chercher la valeur de n4m en supposant que toutes les colonnes métacycliques du type 2 sont complètes ; et on démontrera qu'avec m premier et m—3K<+1 ce nombre n4m nest pas entier. I1 faut tout d’abord remarquer que nm est la somme du nombre des colonnes métacycliques du {ype 1 et de celui des colonnes métacycliques du type 2. Or, ici, ces dernières sont toutes supposées complètes alors que celles du type 1 peuvent ne pas

l’être toutes. Et, d’après les théorèmes 37 et 38, on sait que leur nombre est © sim—4K—1et = sm—4K+1. D'où les deux cas à considérer :

A. m—4K—1. D'après le théorème 38, les colonnes métacycliques du type 1 sont toutes constituées de Es colonnes cycliques différentes et on sait qu’elles sont ns, Et, avec notre supposition, toutes les autres colonnes métacycliques, celles du type 2, sont complètes. Or, avec m premier, on sait que le nombre

Nam des colonnes cycliques est donné par la formule (4). Ce, (m— 1) (m—2) (m—3) de 24 ‘

Il en résulte que, dans notre cas, on à un nombre de colonnes cycliques -< du type 1 égal à "$.®T et celui du type 2 est : (m1): (m2) (m3) (m5) (me)

Et, comme ces dernières sont au nombre de m1 dans chaque colonne métacyclique, on a :

D'où É Nas =

{m-1):(m-2):(m-3) (m—3) : (m—1) Dim — ms SE 2 net 8 m—3 — 2 — 3 — Ouen 4 + Er LU ) —- ee : Ou 1 Lie nn — M+D m3)

Or, avec m = 3 K + 1, ce nombre s’écrit : n4m = Ÿ £ +2) 6 E2,

Mais 3K +2 et 3 K —2 sont deux nombres premiers à 3 ; leur produit ne sera donc jamais divisible par 24 qui contient le facteur 3. Ainsi, avec m = 3 K+ 1, n4m n’est pas entier. La supposition est donc erronée.

70 0e B. m—41K#+1. Cette fois, d’après les théorèmes 37 et 38,

. —5 , . Æ il y a -, colonnes métacycliques du fype 1 contenant 2 colonnes cycliques distinctes et une seule qui en possède #1 ASE :

— différentes. Le nombre de toutes ces colonnes cycliques est D mel 1 ; ee OR En re + - Et il en reste ainsi:

(m1) -: (m—2) : (m—3 <5)! Goe-i ARE MD 2) 9 MD MD MT réparties dans toutes les

colonnes métacycliques du type 2. Et, comme ces dernières sont toutes supposées contenir (m — 1) colonnes cycliques distinctes, il vient :

(m—1) - (m—2) - (m—3) pa (m—5) .: (m—1) > oil

Dim = + 1 + = RTE :

uns | 2 18? E

e A 1 mn) ris 24

OPAicL m9 KR ElNelom—=4K +1 donc m—12 K01 (2K+1)? — 2(12K+1)+9

OU Nim — 6 K?+-,; qui n’est pas un

CLAAIOrS, Mit S ÉCIIC: Nam —

144 K?+38 nombre entier. Donc, ici encore, la supposition est erronée. Il est donc établi que si m = 3 ae 1, il existe au moins une a

colonne métacyclique possédant “— colonnes cycliques diffé-

rentes. Mais, du même coup, on a démontré davantage :

ou N4,m =

Théorème 43. — Avec m premier et m— 12 K—-1, les n4m colonnes métacycliques contiennent toutes (m— 1) colonnes cycliques distinctes, sauf = d’entre elles qui n’en possèdent que Et Lou

nm 12 K 1 nn = CHR (12)

PREUvE. En effet, avec m premier, on ne peut avoir que m = 3 K + 1 ou m — 3 K — 1. Soit donc m — 3 K — 1. D’après le théorème 42, toutes les colonnes métacycliques du type 2 sont complètes. De plus, soit m — 4 K — 1. D’après le théorème 38,

AS CLR

toutes les colonnes métacycliques du type 1 contiennent alors . colonnes cycliques différentes et sont au nombre de = Ainsi, avec m—3K—1 et m—4K—1, c’est-à-dire avec m = 12 K — 1, on est placé dans le cas A) de la démonstration

précédente, où on a trouvé :

(m + 1) : (m—3) wi 24

Et on vérifie bien que si m —12K—1 ce nombre est entier. 12K 42K4

Enterñet no OA — 2KGK— 1).

De même, on peut énoncer le :

Théorème 44. — Avec m premier et m = 12 K +6, les nam

colonnes métacycliques contiennent toutes (m— 1) colonnes cycliques distinctes, sauf n=S d’entre elles qui en possèdent MT et une qui en

“ renferme ee. Et-Monvas

m=12K+5 | nee | (13)

PREUVE. En effet, en prenant m — 3 K — 1, on est assuré que toutes les colonnes métacycliques du type 2 sont complètes. Et si, de plus, on prend m — 4 K + 1, le théorème 38 nous apporte précisément les colonnes métacycliques incomplètes mentionnées dans le théorème. D’autre part, on se trouve ainsi placé dans le cas B) du théorème 42, où on a obtenu :

| Nm —

Enfin, comme on doit avoir simultanément m — 3 K — i et m = 4 K +1, il faut que m = 12 K +5. En effet, avec m premier on ne peut avoir que Um M2 RE ou RERO avec m—3K—1, on ne peut avoir ni m—12K-1,\ni m—=12K—5 car 12K +2 d’une part et 12K—4 d’autre part ne sont pas divisibles par 3. Il ne reste donc en considération que m = 12 K —1 et m = 12 K +5. Or, 12 K —1 est à exclure puisqu'on a ici m—4K+1: car 12 K —2 n’est pas divisible par 4. Il ne reste donc que m — 12 K + 5 avec lequel on a bien m—=3kK—1etm—4K+tÎ.

Et, avec m = 12 K +5, on vérifie également que nam est [né 2 + entier. cEnteftet.: Tim — CRE) SUR +9) nn EESSSE à 21 Ne PT re

Il reste maintenant à envisager le cas m = 3 K + 1.