IV. Détermination de nim avec m — 3 K

Pour calculer n4m, dans ce cas, il s’agit de dénombrer toutes

les colonnes métacycliques incomplètes du type 2 dont chacune est constituée de D colonnes cycliques distinctes, comme l’affirme le théorème 41. Or, d’après le théorème 42, on sait qu’il y en a toujours au moins une si m est premier et si m— 3 K+1 et qu’elle contient, entre autres, une colonne cyclique de carac-

téristique 1,r,s,t (théorème 22) dont le couple (r,s) satisfait un et un seul des quatre systèmes G). (ni), Gi), Gv) ci-dessous. Ces derniers étant chacun la réunion de deux systèmes de congruences compatibles, pris parmi AO ainsi qu’on l’a établi

au théorème 40. Ces 4 nouveaux systèmes sont donc incompatibles entre eux, et un couple fr,s) ne peut satisfaire qu'un seul de ces systèmes, comme il a été dit.

b=r+s | (6) b — m—(r+s) D (7) b=m—(r+s+1) QE b=m—r

Le problème revient donc à trouver : d’une part, le nombre de colonnes cycliques différentes dont la caractéristique est de la forme 1,r,s,t et qui sont contenues dans chaque colonne métacyclique incomplète du type 2; et d’autre part, le nombre de tous les couples (r,s) différents, {(r,s) étant considéré comme

différent de (s,r)] qui sont solutions des 4 systèmes Gi)... Ainsi, si toute colonne métacyclique incomplète du type 2

PS DESE

contient toujours 4, et uniquement 4, colonnes cycliques distinctes de caractéristiques 1,r,s,t et si les 4 systèmes OC ne pos-

sèdent que 4 couples (r,s) différents comme solutions, on pourra affirmer qu’il n’y a qu’une seule colonne métacyclique incomplète du type 2 avec m premier et m—3K+1. C’est précisément ce qui arrive pour tout m > 7, mais il faut l’établir.

Théorème 45. — Une colonne métacyclique incomplète du type 2 contient soit 2, ou soit 4 colonnes cycliques différentes dont la caractéristique possède un intervalle égal à 1.

PREUVE. — En effet, avec la colonne cyclique ci-dessus de caractéristique Z,r,s,{ figurera toujours, dans la même colonne métacyclique, la colonne cyclique conjuguée de caractéristique t,s,r,1 ou 1,t,s,r qui est différente de 1,r,s,t puisque s 1 tr lt. Et, s’il n’y a pas d’autre colonne cyclique avec une caractéristique possédant l'intervalle 1, la première partie du théorème est démontrée. Si, au contraire, il existe encore une autre colonne cyclique différente des deux précédentes et dont la caractéristique est 1,R,S,T, on trouvera aussi, dans la même colonne métacyclique, la colonne cyclique conjuguée de caractéristique, 1,T,S,R qui est distincte de 1,R,S,T de 1I,t,s,;r et de 1,r,s,t. Et le théorème sera ainsi complètement prouvé si on montre qu’il ne peut pas exister une autre colonne cyclique, dans la même colonne métacyclique, dont la caractéristique possède également un intervalle égal à 1 et qui soit différente des 4 colonnes cycliques déjà envisagées. Or, c’est bien le cas. En effet, pour cela, il suffit de démontrer que chaque colonne métacyclique incomplète du type 2 contient au maximum 2 colonnes cycliques, différentes ou non, avec une caractéristique possédant un intervalle égal à 1, puisque dans une telle colonne métacyclique, chaque colonne cyclique figure exactement 3 fois. Or, soit : 0.1. (r+1).(r+s+1) la combinaison choisie dans la colonne cyclique de caractéristique 1,r,s,. Par la substitution |x,bx| elle devient : 0.b.b (r+1). b (r+s+ 1) et se trouve dans une colonne cyclique de la même colonne métacyclique ; et cette colonne cyclique aura une caractéristique possédant au moins un intervalle égal à 1 si:

b—1 ou b=—1 ou b(r+1=1 ou b(r+1)=—1

ou b(r+s+1)=1 ou b(r+s+1)=—1 ou b(r+1)—b=1 ou b—b(r+1)=1 ou b(r+s+1)—-b=1 ou b—-b(r+s+1)=1 ou b(r+s+1)—b(r+1)=1 ou b(r+1) —b(r+s+1)=1

Fate ou, après réduction :

PAL 2% p=— 1 "3m" b(r+1)=1 de b(r+1)=—1

Dim b(r+s+1)=1 Gt b(r+s+t1)= 1 7m br=1 8m br——1 Jim b(r+s)—=1 10% b(r+s) = —1 11ème bs— 1 12ème bs = — 1,

Et comme ces 12 congruences sont toutes du 7e degré en b, elles ne peuvent avoir, chacune, qu'une solution au plus en b. Il y a donc au maximum 72 nombres b différents qui sont solutions de ces 12 congruences, donc au plus 72 colonnes cycliques dans une même colonne métacyclique incomplète du type 2 à posséder une caractéristique avec au moins un intervalle égal à 1, comme il fallait l’établir. Mais il reste à fixer à quelles conditions on obtient l’un ou l’autre des deux cas mentionnés.

Théorème 46. — Une colonne métacyclique incomplète du type 2 contient toujours Z et seulement 2 colonnes cycliques distinctes dont la caractéristique possède au moins un intervalle égal à 1, si m — ?, et toujours 4, et seulement 4, si m > 7.

PREUVE. Il faut en somme démontrer que les 12 congruences du théorème 45 ne sont satisfaites par 12 nombres b égaux 2 à 2 que pour m — 7. En effet, comme dans une colonne métacyclique incomplète du type 2, il ne peut y avoir que 12 ou bien 6 colonnes cycliques -< ou non, avec une caractéristique possédant au moins un intervalle égal à 1, les 12 congruences ci-dessus ont soit 12 nombres b différents, soit 12 nombres b égaux 2 à 2 comme solutions. Et on va montrer que, dans ce dernier cas, on a forcément et seulement m = 7.

Soit donc b — 1. Quelle est alors l’autre des 12 congruences qui est satisfaite simultanément pour b — 1? Avec b = 1 les

11 congruences qui restent deviennent successivement : 2° 1 = —1 ou 2=0 : or, m >2, c'est impossible ; 3% r+1= 1 ou r=0: impossible car m premier et r <m; 4#®r+1=—1 ou r+2=0:

impossible car r+2<m; 6%r+s+1=—1 où r+s+2=0:

or, r+s+t+1=0 on doit donc avoir nécessairement { — 1 ; 7ème r= 1 ou r — 1 mais, par hypothèse, r<t, donc on ne peut pas avoir ettt—1:soIt doncr —7et t-=1./Ainsi, des 2 congruences Gt" et 72», seule 7?" sera satisfaite pour b — 1 et cela si r — 1. Or, avec r — 1, on voit immédiatement que les congruences 9me et 8 qui deviennent toutes deux b = — 1, sont satisfaites aussi par le même nombre b. Il est certain, d’après ce que l’on sait, que ce sont les deux seules congruences qui sont satisfaites par ce nombre b, mais on va tout de même montrer que, si b= — 1,

Pr) ee

les 8 autres congruences qui restent et qui, avec r — 1, s'écrivent : See 2b— 1. 4% 2p—-1/5#2b(s4+2)=1 67 b(s+ 2) =—] Qu b{(s 11)=1, 10% b(S41)= III bs =102 pbs 1 ne sont pas satisfaites par ce nombre b.

Enteftet, si b—==1152%%b ="Ss'écrit 3b —0f#mpossibles gène 2h = — 1 devient b = 0 : impossible ; 5%*° b (s +2) = 1 devient b(s+3)=0 ou s+3—=0, or, avec r—1, s+t+2—0,

d'où t—1, or r=Æt: impossible ; 6%°°b,(s +2) ==1/sécrit b (s+ 1) = 0 : impossible ; 9% b(s+1) = 1 devient b(s+2) = 0 : impossible ; 10% b (s+1) =—1 s'écrit bs = 0 : impossible ;

11% bs = 1 devient s+ 1 = 0 : impossible ; 12%* bs =—1 s'écrit s — 1 = 0: impossible car s 1.

Maintenant, ces 8 congruences ci- dessus sont à leur tour satisfaites 2 à 2 pour le même nombre b. Soit donc 3°*° 2b= 1 alors seule la congruence 11°* bs = 1 est satisfaite pour le même nombre b et cela si s — 2. En effet, 4° 2b = —1 est incompatible avec 2b = 1 sinon on aurait 4 b = 0 : impossible car m > 4 ; 5m b (s+2) = 1 devient, avec 2b = 1, bs = 0 : impossible. Si 2b = 1, 6% b(s+2) = —1 s'écrit b (s+4) = 0 ou s+4= 0, OÙ r+ st l=0 et" avec r— ls LE 22 = Dress 0 on doit avoir {— 2. De même, avec 2b=1, 9% b(s+1)=1 devient b (s— 1) =0 : impossible ; 10% b(s+1) =—1 s'écrit b (s+3) = 0 : impossible ; avec r =1 et t> 1; 12% bs=—1 devient s+2=0: impossible. Par contre, 11% bs=1 s'écrit b (s—2) = 0 d’où s —£. Mais, si s —2, on ne peut pas avoir simultanément t = £ et r =1 car 1+r+s+t—6, or m est premier. Ainsi, si on prend s — 2, la congruence 6** ne sera pas compatible avec 3** 2b = 1 et il ne restera que 11% bs= 1. Alors, avec r — 1 et s — 2, les 6 congruences qui restent s’écrivent :

4ème 2h = — 1] 5x Ab = 1 6ère 4b = — 1 9ème 3b = 1 10% 3b=—1 12% 2b—=— 1 Et, alors, la seule congruence compatible avec 4% 2b = — 1] est 12% £b=— 1.

En effet, si 2b = — 1:

9% 4 b = 1 s'écrit 6 b = 0, impossible car os m—3kK+1 6% 4b = — 1 devient 2b = 0 impossible ; 9ème 3 b = 1 s'écrit 5 b = 0 impossible car m > 7 10% 3 b = — 1 devient b = 0 impossible.

Aiünsi, il ne reste que les 4 congruences suivantes à considérer : 5 4Ab= 1, 6m 4b= T9) 3 D = NTM SD:

Or, la congruence 5°%* 4b— 1 est seulement compatible avec 10e 3b—= 1]. En effet, si 4b = 1, alors 6" 4 b = — 1 devient

8 b = 0 qui est impossible avec m premier, m >7 et b<m et 9ème 3b = 1 s'écrit b = 0 : impossible.

Alors, forcément, les deux dernières congruences 6% 4 b = — 1 et 9% 3b=— 1 sont compatibles ; et il résulte de là que 7b=0 congruence qui n’est possible, avec m premier de la forme m—3kK+1, que si m = 7.

Ainsi, il est bien établi que toute colonne métacyclique incomplète du type 2 contient foujours 4 colonnes cycliques distinctes dont la caractéristique possède au moins un intervalle égal à 1, sauf pour m = ? où on en trouve seulement 2. On va donc tout d’abord considérer ce cas particulier :

Cas m — 7.

On a vu au $ 6 que la répartition des C}, combinaisons par les substitutions du groupe métacyclique en systèmes intransitifs est la même que la répartition des N;in colonnes cycliques par les

substitutions du groupe R — |x, bx|.

OPucrL EN Gé 2 6 bi o col li ICONE D ES 9 4 0: ces 5 colonnes cycliques

ont des caractéristiques qui correspondent aux 5 façons d'écrire 7 comme la somme de 4 nombres différents ou non, deux décompositions étant distinctes, si elles ne s’obtiennent pas par permutation circulaire. Ce sont donc :