PARA E ES

Soit alors 0123 la combinaison prise dans la première colonne cyclique. Par les substitutions du groupe R = |x,bx|, avec b — 1,2,3,4,5,6, elle devient :

0123 ; 0246 ; 0362; 0415 ; 0531 ; 0654 ; ou en ordonnant :

Et ces combinaisons appartiennent à une même colonne métacyclique et figurent dans des colonnes cycliques dont les caractéristiques respectives sont :

Ce qui donne une colonne métacyclique du {ype I où les 3 colonnes cycliques 1,1,1,4 ; 1,2,2,2, et 1,2,1,3 figurent chacune deux fois.

Soit alors 0124 la combinaison choisie dans la colonne cyclique du caractéristique 1,1,2,3. Par les substitutions du groupe R = |x,bx|, elle devient : 0124 ; 0241 ; 0365 ; 0412 ; 0536 ; 0653 ou 0124; 0124; 0356; 0124; 0356; 0356; combinaisons qui correspondent aux caractéristiques :

D ES 10288082 1033.21: (7) qui fixent les colonnes cycliques d’une colonne métacyclique du

Fopet

type 2 où les deux colonnes cycliques, de caractéristiques 1,1,2,3 et 1,1,3,2, figurent 3 fois. Ainsi na, — 2 : il y a une colonne métacyclique (8) où les colonnes cycliques figurent 2 fois et une colonne métacyclique (y) où les colonnes cycliques figurent 3 fois.

F reste maintenant à trouver le nombre des colonnes métacycliques du type 2 pour m > 7.

Théorème 47. — Avec m premier e m—=3K+I1I, il y a toujours une et une seule colonne métacyclique, parmi les 45m) qui contient ee colonnes cycliques distinctes.

Preuve. Tout d’abord, pour m — 7, on vient de voir que c'est juste. Soit donc m > 7. D’après le théorème 42, il y en a toujours une au moins. Il suffit donc de prouver qu’elle est unique. Or, c’est bien le cas, car, d’une part, chaque colonne métacyclique incomplète du type 2 contient 4 colonnes cycliques différentes avec des caractéristiques de la forme J,r,s,t (théorème 46, cas m > 7) et, d’autre part, chacun des 4 systèmes de

congruences Goes a un et un seul couple (r,s) solution.

En effet, d’un côté, chacun de ces 4 systèmes contient en particulier une congruence qui est du Ze degré en s et qui a donc, au plus, une solution en s pour un r fixé. Ce sont :

pour (1): r +1)=s; pour (1): r (r+s)=s

pour G): œ+1) +s)=r; pour (iv): r'T+l)=—Ss D'un autre côté, chacun de ces systèmes renferme au moins une congruence qui est du 1 degré en r et qui a donc, au plus, une solution en r pour uns fixé. Ce sont: s(r+s+1)=r pour

G); r(s+1)=—25s pour Qu); s(T+s+1)=r pour Gn) ; et r(s—-1)=s+1 pour (y). Cette dernière étant obtenue à partir

des congruences r (r+s) = 1 de (6) et r(r+1)=—Ss de (8).

Par suite, des 4 systèmes Goes) qui à, au plus, une

solution en r et une solution ens, a, au plus, un couple (r,s) solution, et à cause du théorème 42, il en a foujours une. Et ces 4 couples (r,s) sont différents d’après le théorème 40. Ils permettent donc la constitution de 4 caractéristiques différentes de la forme 1,r,s,t qui fixent les 4 colonnes cycliques de la méme colonne métacyclique incomplète du type 2, comme le montre le théorème 46,

Rue Ne EXEMPLES :

=: COS Dee On a bien deux couples (r,s) seulement.

m=18. (1):r=2;s=6 GE PE Core Ces

On a, cette fois, 4 couples (r,s) différents.

M — 19. CD EPL: CPE CHERE pme S 4

On a, ici encore, 4 couples (r,s).