TB 1 PEN CORRE (RE CORRE
On obtient, à nouveau, 4 couples (rs).
PNR NE ee (m):r=38;s HR DEA SE IO
On obtient aussi 4 couples
m = 48. Er RES n0 Qu): r=26; s — 10 (Gv):r=7: s= 30
Et on trouve encore 4 couples (r,s), comme prévu.
La démonstration du théorème 47 permet alors l’énoncé d’une propriété originale sur les congruences :
Théorème 48. — La condition nécessaire et suffisante pour que chacun des 4 systèmes ERA ait un et un seul couple (r,s) solution, et que ces 4 couples soient tous différents entre eux, est que m soit premier > ? et de la forme m=—3K+1.
PREUVE. En effet, d’après le théorème 42, m premier et m = 3 K +1 sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que
les n4,m colonnes métacycliques ne soient pas foutes complètes, donc, d’après le théorème 47, pour qu'il y ait une et une seule colonne
ART nl métacyclique avec Le colonnes cycliques distinctes. Mais, pour cela, il faut que l’un au moins des 4 systèmes Ge
ait un couple (r,s) solution. De plus, le théorème 46 et la démonstration du théorème 47 précisent que ces 4 systèmes en Gv)
sont foujours solidaires si m'>7 et que chacun a un et un seul couple (r,s) solution. Enfin, le théorème 40 affirme l’incompatibilité de ces 4 systèmes ; il en résulte donc que les 4 couples (r,s) solutions ne peuvent être que différents.
On peut dès lors calculer n4m pour m=8K+1. Mais il faudra distinguer encore le cas où m—4K—1 du cas où m—4kK+1.0Or, sim—3K+1etm—4K—1, on peut écrire m = 12 K — 5. En effet, d’une part m— 1 doit être multiple de 3, ce qui est vérifié pour m— 1 = 12 K —6, et d’autre part m +1 doit être un multiple de 4, ce qui est juste pour m+1—12K— 4. Au contraire, ss m—3K+71et m—1K+E1 on doit écrire m = 12 K +1 car m—1 —=12K est bien un multiple de 3 et de 4. D'où :
Théorème 49. — Avec m premier et m— 12 K—-5, les nm
colonnes métacycliques contiennent toutes (m— 1) colonnes cycliques HSE = à : & =
distinctes sauf © d’entre elles qui n’en possèdent que "= el
une qui n'en renferme que =. Et l’on a :
M (HD In ME En
Preuve. En effet, si m—12K—5, c’est que m=3K+1 et m—4K—1. Or, lorsque m—4K—1 on sait, d’après le
théorème 38, qu'il y a RÉ colonnes métacycliques du type 1 qui
contiennent donc chacune Le colonnes cycliques distinctes. Et, puisque m — 3 K +1, le théorème 47 nous impose une et une seule colonne métacyclique incomplète du type 2. On obtient
ainsi toutes les colonnes métacycliques incomplètes qui sont donc au nombre de DS + 1. Toutes les autres colonnes métacycliques possédant alors (m— 1) colonnes cycliques chacune. Mais le nombre de ces colonnes cycliques qui figurent dans toutes les colonnes métacycliques complètes est connu; c’est
NN, MISE —1 \ Nam — 5 0": oUNia est le ombre or EU
: 1 3 Ÿ colonnes cycliques, © : = le nombre de celles qui entrent
dans les ®* colonnes métacycliques du type 1 et qui sont
