HAN
différentes, et = représente le nombre des colonnes cycliques
distinctes figurant dans la colonne métacyclique incomplète du type 2. Or, ici, comme m est premier, N4m est donné par la
formule (À) : Nam — “1 ou Na, m = m-I@-2 m-S | (m—1) (m—2) (m—3) (m—1)(m—3) m—1 se NE tn 24 PHASE ELITE D'Or — i AURS Re REA 3 m+1l , (m—2) (m—5) RE PE PP NE oi ee Er en 22 13 Ou : RUES ne
Et on vérifie bien que nam est entier, si m —12K—5. En Dre EEE OR ES ps 24
OU Nam — 06K —6K+2
effet, on a alors : Ram
qui est bien un entier.
Soit maintenant le dernier cas: m—=12K +1.
ou N4,m —
Théorème 50. — Avec m premier el m = 12 K+ 1, les n4m colonnes métacycliques contiennent toutes (m— 1) colonnes cycliques,
Er 3 4 ces £ sauf ®— d’entre elles qui en possèdent >, une qui en renferme M ef une qui en contient +. Et l’on a:
EU Rene mnt | (15)
PREUVE. En effet, si m —12K +1, c’est que m—4K+1 et m—3K+1. Or, lorsque m = 4K + 1, d’après le théorème 38, les colonnes métacycliques du {ype 1 sont foutes constituées de m1 colonnes cycliques distinctes sauf une qui en a ®-+. Et le
. ne er , m—5 nombre des premières a été trouvé égal à =. D’autre part,
comme m — 3 K +1, le théorème 47 ne prévoit bien qu’une et une seule colonne métacyclique incomplète du type 2. Le nombre
de toutes les colonnes métacycliques incomplètes est donc de : mn + 1 +1, et elles comptent en tout : = . Sym. + 1
20) 0n5 m1 colonnes cycliques. Il reste alors Nam — 27-09 - Moi Re
F0) Æe
colonnes cycliques qui entrent dans des colonnes métacycliques comprenant (m1) colonnes cycliques distinctes. D'où le nombre des colonnes métacycliques au total :
han = D +1+1+ æ er — 3) m—2) - (mMm—3 m—5 1 1 SAS Lo = +! ) — 8 4 2__9m+ 25 Dee | RER
Et on vérifie bien, alors, que pour m = 12 K + 1 ce nombre (2K+1):—2(12K+1)+25
est entier. En effet, on a : N4m 91 NT Pare 2e OU N4m — 6 K2+ 1 qui est bien un
nombre entier.
Les théorèmes 43, 44, 49 et 50 résolvent ainsi complètement le problème de la recherche de ni,m aVeC m premier, et fixent même le nombre et la nature des colonnes métacycliques incomplètes. On va dresser un tableau des résultats obtenus en ajoutant encore le nombre des colonnes métacycliques complètes qui s’obtient aisément. Et, pour simplifier, on désignera par : (a) : une colonne métacyclique contenant (m—1}) colonnes cycliques différentes ; (B) : une colonne métacyclique qui n’en possède que ee différentes ; par (y) : celles qui n’en ont que ÎLE, et par (ô) : celles
: : s m—1 qui n'en possèdent que ——.
m premier EN) D no AU Re AU MIE ee Û 24 (23m 5) colonnes (x) et ee colonnes (8).
2) m—12K+5 num = PRES | Go m—9
(8) ms) colonnes (x) ;
’ colonnes (6) ; 1 colonne (à).
ot
3) m=12K—5 on Ames) (5 Er + colonnes (x) ; a ñ : colonnes (8) ; 1 colonne (7). 4) m—12K+1 | non — D 2m + 2 | na 2— > min +7 colonnes (x) ; = 4 : colonnes (£); 1 colonne (+)
et 1 colonne (6).
On va maintenant appliquer et vérifier ces formules.
