B. NOTION D’INTERVALLE ET DE CARACTÉRISTIQUE
Considérons l’une quelconque des combinaisons i à i de m éléments que nous désignerons par à, & A3 Au... Aj—1 A; et où les a; sont ordonnés en croissant ; donc à, <a < a3 < ay <<... < A1 < A
Ce qui est toujours possible puisque l’ordre des éléments d’une combinaison est arbitraire. |
Pour une telle combinaison, j'appelle intervalle chacun des i nombres suivants :
Cid An: 0 lé — A; A4; ne, — A,-— A3:
5 C1 = Ai Ai-1 ; © — (M + à1) — ai.
Il résulte de cette définition que tous ces intervalles sont des nombres € tels que 1 <ex < m.
On a même le:
Théorème 1. — La somme des i intervalles de l’une quelconque des Cn combinaisons est égale à m.
PREUVE. En effet, on a : e, +e, +e, +... +ei-1+e; — (a; —a;) + (3 — à) + (A4 — a3) + + (ai — Ai-1) + (m + a) — a = — à + (mM+a,) = m.
ExEMPLes : Pour la combinaison 234 avec m — 6 on a: oil ed 1: 6e —(6 +2) 4-4.
les intervalles sont donc : 1, 1, 4.
Pour la combinaison 134 avec m—6ona:e —=3—1 =2; ee —=4—3—1; e;, —(6 +1)—4—3. Les intervalles sont alors : 2, 1, 3. Ils sont différents des précédents, mais dans les deux cas, leur somme est 6.
C’est donc cette suite d’intervalles e,, e,,...., e; qui semble caractériser chaque colonne cyclique. Nous allons démontrer, en effet, le :
Théorème 2. — A l’ordre circulaire près, la suite des intervalles d’une combinaison quelconque, fixe complètement la colonne cyclique qui contient cette combinaison.
Preuve. Elle sera double :
19 Je vais montrer, tout d’abord, que la suite des intervalles d’une combinaison est la même, à l’ordre circulaire près, pour toutes les combinaisons de la colonne cyclique.
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En effet, soit a, à A3...ax Ax-1...4;-1 Ai Cette combinaison où les a sont ordonnés en croissant.
On a: 6 —4—A; € = A3 — A9; ©k — Ak+1 — Ak >... OÙ : Oj, opeees. Os . Ckrtoe, its © pour les i intervalles de cette combinaison.
La combinaison générale de la colonne cyclique s’écrit : AREA ET ASSET di TO NRANE ET Si cette nouvelle combinaison est encore ordonnée, alors ses intervalles sont e;, @, €3,..…., ei; 1, &i Comme précédemment et dans le même ordre. Si ce n’est pas le cas, c’est que des an + Tr, à partir d’un ak + r, ont été remplacés par leurs restes (mod m) et qu'ils sont effectivement :
ARR M: AL 1 TMS sd SNS AE TN.
Et la combinaison générale ordonnée s’écrit : Ax +T— M Axr1 + T — M... BRENT UN EN ge 1 == int EV: SEP A+. Ak1i+r dont la suite des intervalles est :
Ax+1 — Ax = Ex ; Akx+2 — Akxr1 — Ekr1..... dj Aj1 — Ei 1 ; m+a)—a—e; &4— a — 0e; 5 Ak — Ax-1 — Ex 1 Ou : Ok; Ck+ltsee..s Ci 15 js "Css EX Le Ce sont donc les mêmes intervalles que ceux de à, & a3..……. Ai1 à, mais ils ont subi une permutation circulaire.
29 Il reste à prouver maintenant que la suile des intervalles Ci, Ceres CRI OkI lose Ciel ep: Jedi did. dan dr dome caractérise, à l’ordre circulaire près, que la seule colonne cyclique contenant cette combinaison. Or c’est bien le cas, car si on part des intervalles ci-dessus, on ne pourra former, d’après la définition, que la combinaison :
O e, e+e e,+ e+ eg.er + Et . + it ou la combinaison générale :
S S+e, S+e+e S+ + e2—+ 03...8 + € + eo +... + ei qui donnera pour s — 0,1,2,.., m — 1 toutes les combinaisons de la colonne cyclique et uniquement celles-ci. Or pour s — a, cette combinaison est : à; a, + €, 4, + €, + €9......ay + © + © +... 1 ou en remarquant que €, — 4 4) ea de...
Ay A9 Age... Akx Ak+1-..di-1 Ai.
La seule colonne cyclique que l’on puisse retrouver avec les intervalles e,, €, e3,.…., 6; 1, e; est donc bien celle qui contient ay A A3... 1 A. Et le théorème 2 est ainsi établi.
DÉFINITION. — Cette suite d’intervalles, à l’ordre circulaire
près, qui fixe chaque colonne cyclique sera appelée la caractéristique de la colonne cyclique.
Bépoe
