C. EXPRESSION GÉNÉRALE DE Nim à

Il est à remarquer que la caractéristique, dans le cas des Ch combinaisons, est une suite de i nombres > 1 dont la somme vaut m d’après le théorème 1. A chaque caractéristique correspond donc une décomposition de m en sommes de i nombres différents ou non, à condition de ne pas considérer comme distinctes, deux décompositions obtenues l’une de l’autre par permutation circulaire des termes de la somme. Et cette constatation amène le :

Théorème 3. — Le nombre Nim des décompositions de m en sommes de i nombres, différents ou non, deux décompositions étant distinctes si elles ne s’obtiennent pas par permutation circulaire des i nombres, est égal au nombre de colonnes cycliques en lesquelles se répartissent les combinaisons i à i de m éléments par les substitutions du groupe cyclique de degré m. Ce nombre Nim est ainsi donné par la formule générale (1).

PREUVE. D’après le théorème 2, on sait qu’à toute colonne cyclique correspond une caractéristique qui donne précisément une telle décomposition. Mais, réciproquement, à toute décomposition de m en sommes de i nombres ainsi mentionnée correspond-il une colonne cyclique ? Certainement, car soit m = €, + ee +... +e;-1+e; une telle décomposition tout à fait arbitraire ; il lui correspond la caractéristique e;, e,,......, e;1, €; qui fixe la colonne cyclique contenant en particulier la combi- NAÏSON O €y Ep + Core. + Corse + ei-1. Et comme les C; combinaisons sont toutes réparties dans les Nin colonnes cycliques, la colonne cyclique envisagée est forcément l’une des Nim. Donc, à chaque décomposition de m (avec les particularités précisées) correspond bien, réciproquement, une colonne cyclique et le théorème 3 est ainsi complètement établi.

Exempce : Montrons en particulier que le nombre de décompositions de 10 en sommes de 3 nombres différents ou non, permutations circulaires exclues, est égal au nombre de colonnes cycliques en lesquelles se répartissent les combinaisons 3 à 3 des 10 éléments 0,1,2,..., 9 par les substitutions du groupe cyclique de degré 10.

Décompositions Caractéristiques Colonnes cycliques

1+1+8 PERS 012125 1+2+7 LR DIS PAZET 1+7+2 use OIS 04297 1+3+6 er0 01424125;

PET Re

Décompositions Caractéristiques Colonnes cycliques

1+6+3 PAGES RON PES 1+4+5 12415 OISE" 1+5+4 15%4 O6 2+2+6 DO 024205 2+3+5 2, 3-5 025150 2+5+3 2290 O2 ANSE 2+4+14 2,544 02671497 3+3+4 CS Ÿ | 036;.: 147, Calcul de N3,10. — La formule (2) est applicable et

N310 — Cao — a — 12 : nombre obtenu ci-dessus.