GÉOMÉ nu li

QAO son plan oscillateur en A;

AP la projection de la courbe sur son plan osculateur ;

Am le cercle osculateur en A, qui est le même pour la

courbe et pour sa projection; O le centre du cercle osculateur; COP un plan perpendiculaire au plan osculateur passant

par la ligne OP; M et m les points où ce plan coupe la courbe et son cercle

osculateur.

l'-iff. 5.

Désignons l'arc AM par S, l'arc A m par o-. La différence entre S et c- est du quatrième ordre : elle est égale à

-j— -^- Par suite, si nous désignons par j, l'j du point m,

nous aurons

ou, en négligeant le quatrième ordre dans a et, par suite, le cinquième dans j,, où o- n'entre qu'au carré, on aura

La sphère osculatrice est la limite de celle qui passe par

le cercle oscnlaleiir Amct est langenle à la ligne Mm. Nous aurons, par suite, si C est le centre de cette sphère et si nous posons OC = /,

mais on a, en négligeant seulement le cinquième ordre,

mP=v, — r, d ou 1=0-^ ^ = r -/- ,

•^ -^ ^ z dis

et par suite

■*' = P'-^''Mrfi

Distance d'un point à la sphère osculatrice infiniment voisine. — Deuxième méthode.

La sphère osculatrice fait avec la ligne wM un angle infiniment petit du premier ordre.

Soil(^g'. 6)mM, la tangente à la sphère osculatrice, dans

le plan OPM. La distance du point M à la sphère osculatrice sera égale à la perpendiculaire MQ, abaissée du point M sur la tangente mM,.

Mais on a

M,P=:mP^, MP = ^,

420 cÉOMÉTuii;.

d'où

MQ = MM,cosM,mP = MM, j^ ou MQ = j [omP— h);

mais on a, en négligeant les infinimenl petits du cinquième ordre,

S^ dp S* do ( ■?. dp I dr^

Iz— ^ - ' ' '^ '

5* dp I ■?. dp I dr\

Mais

„ f/R (/p / d-p dr do p

\{ -T^ = r -^, [ r -T~ -h -^ ih -h -

f/S dS \ dS' f/S ^S /'

par suite

MQ

ou, à cause de l'équation (2

rfR

24 pr/

lion (;

p f/R = R/ rfs'

MQ =

et par suite

p 2, C'est la valeur déjà trouvée.