COURBES PLANES

On sait que, si l'on considère deux courbes ayant un contact d'ordre «, la distance des deux courbes est d'ordre ?i -\- j si elle est mesurée suivant une direction faisant

GÉOMÉTRiE. 427

un angle fini avec la tangente; elle est d'ordre n si la distance est mesurée parallèlement à la tangente.

Par suite, s'il s'agit de déterminer un infiniment petit d'ordre n, on pourra substituer à- la courbe considérée une courbe ayant avec elle un contact d'ordre }i si l'infiniment petit est mesuré suivant une direction Taisant un angle. fini avec la tangente, ou une courbe ayant avec elle un contact d'ordre n -t- I si l'infiniment petit est mesuré suivant une direction parallèle à la tangente.

Exemple.

ingentes rencontrent la courbe. — Soient {y?g^. 7)

S une courbe quelconque;

M un point de cette courbe;

QQ' une corde infiniment voisine du point M et parallèle à

la tangente en ce point; MT la tangente à la courbe diamétrale en M; MN la normale en M; T etN les points où Mï et MN coupent QQ';

L'angle NMTétant en général fini, TN sera du second ordre. On peut, par suite, pour évaluer ]NT ou l'angle NMT, substituer à la courbe la parabole osculalrice qui a avec elle un contact du troisième ordre.

Soit (y?i(. 8) la parabole considérée. Si nous désignons NMT par ^, on a, p étant le rayon de courbure, p' sa dérivée par rapport à l'arc,

p=— '-— ? d ou p =3 — ^ tangcp-7^; ^ cos'cp cos'© °^(/S'

mais, si nous considérons un point M' infiniment voisin du

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point M sur la parabole, nous avons, si MN el M'N sont les normales en M et M', MT et M'T' les diamètres qui passent

en ces points, V le point de rencontre de ISi'N et de MT,

T'M'N = 9-i-f/9 = TPN; mais, dans le triangle NPM, on a

PNM -t- 9 = NPT = 9 + f/9,

d'où

f/9 = PNM,

et par suite

donc, enfin,

Nous avons, par suite, pour déterminer l'angle 9 que fait la courbe diamétrale avec la normale au point où elle rencontre la courbe, la relation

lang9=ip'.

Si l'on rapporte la parabole osculatrice à la tangente à la courbe proposée et à la tangente à la courbe diamétrale qui passe en ce point, son équation sera

I ros^'o

= 3 tang9.

de plus, on a, d'après une formule connue,

ces' 9

cl, comme p:

COb-*!^

p' =1 PC0S9; donc l'équalion de la parabole osculalrice sera

y'=^ apcos^.x.

Courbes qui coupent leurs courbes diamétrales

Établissons d'abord la propriété suivante, qui est d'ailleurs connue.

Soient (/^. 9)

S une courbe;

S, sa développée;

S2 la développée de S,, cl ainsi de suite.

Par un point M de S on mène une droite faisant avec la normale MN, et d'un côté déterminé, un angle constant a; soient 2 l'enveloppe de cette droite MP, P le point où elle

louche son enveloppe, N le point où la normale louche la développée de S.

1° NP esl normale à 2;

2" L'enveloppe 2, de NP se déduit de S, comme 1 se déduit de S, et ainsi de suite pourlj, l^;

3° Si p esl le rayon de courbure de S, p, celui de S,, /- celui de 2, on a

p, cosa — psina = r.

Considérons les courbes S, el 1 et l'angle de grandeur constante a qui se meut en ayant ses côtés tangents à ces deux courbes; on sait que la courbe S, lieu du sommet de cet angle, esl tangente au segment capable de l'angle a décrit sur PN; mais, puisque NM esl la normale, celte droite passe par le centre du cercle, et, par suite, PN est perpendiculaire sur PM; c'est donc la normale en P à 2.

Les angles N.NP, NMP, N, étant le point où la normale à S, louche son enveloppe, sont égaux comme ayant leurs côtés perpendiculaires; donc 2, se déduit de S. comme 2 se déduit de S.

De plus, la figure donne, P, étant le point où NP touche son enveloppe,