PP,=:P,N- PN

mais

PP, = r, P,N = p,cosa, PN = psina;

donc, enfin,

/• = p, cosa — psina.

Si MP avait été mené de l'autre côté de MN, on aurait eu

Si l'on applique maintenant la transformation précédente à la courbe qui coupe ses courbes diamétrales sous un angle constant, courbe qui est caractérisée par la condition

p' = 3 lang9 = const.,

on aura pour celle courbe, tlQ élanl l'angle de conlingence, dq dp dS , o

et, par suite, on aura

r = p(3 tango cosa — sina).

Donc nous voyons déjà que la courbe transformée a son rayon de courbure proportionnel à celui de la proposée et que, par suite, elle coupe aussi ses courbes diamétrales sous un angle constant.

De plus, si on détermineaparlaconditiontanga = 3tangcp, on aura /'= o ; par suite, la courbe proposée est telle, qu'elle coupe sous un angle constant les droites issues d'un certain point fixe.

En prenant ce point pour pôle et désignant par o) l'angle polaire et par / le rayon vecteur, on aura

cota

dl 3 tango

d'où

y=3tang9rfw, L/= 3w tang9 -f- c, /= gc+aoaangç^ ou, en choisissant convenablement l'axe polaire,

/ m gSutang-i .

c'est une spirale logarithmique.

Il résulte aussi de ce qui précède qu'en menant des droites faisant des angles constants avec la normale, leur enveloppe est également une spirale logarithmique si la courbe proposée en est une.

On déduit aussi de là que la développée d'une spirale logarithmique est une courbe de même espèce, et que le rayon de courbure de la proposée a pour projection sur le rayon vecteur ce rayon lui-même.

De la conique osculatrïce.

D'après ce qui précède, on a p' = 3 lang<p ; de plus, pour la conique osculalrice, p" sera le même que pour la courbe. Calculons donc p", on aura

„ 3 c?<p " ~" cos'cp 5s'

flo Il s'agit de calculer -~- Supposons d'abord que la co-

nique soil une ellipse.

Soient [fig. lo)

Fig. 10.

0 le centre de l'ellipse ;

MO = a' le diamètre qui passe par le point M ;

M' un point infiniment voisin du point M sur l'ellipse

MN et M'N les normales en j\ï et M' ;

Q le point de rencontre de M'N et de MO.

Dans les triangles MNQ et M'QO, on a

NM' 0 + MOM' = NMO + MNM'

d'où

f/9 + MOM'

MOM' ;

dScoso

MOM' =

par suite

do I coso

dS p (('

Si la conique avait été une hyperbole, on aurait eu {Jig'. 1 1 )

9 + f/9 = M'OM H- 9 -(- MNM,

d'où

do I coso

Par suite, la valeur de —4 sera la même dans les deux cas, db

si l'on regarde a' comme négatif dans le cas de l'hyperbole.

Fis- II-

Nous aurons par suite

„ 3/1 iX ,, , 1 I &"coso

p= ;, d ou — = ■ — - — ■-.

coso \pc0s9 aj a' pcos9 3

En calculant la valeur de a', si cette valeur est positive, la conique osculalrice sera une ellipse; si elle est négative, ce sera une hyperbole.

Si l'on prend pour axe la tangente en M et le diamètre MO, l'équation de la conique osculalrice sera

f'=: ip'x ~ q'x^,

q' étant négatif pour l'hyperbole.

434 GÉOMÉiniE.

Or ici p' aura la môme valeur que pour la parabole osculalrice, puisque la distance des deux courbes doit être du quatrième ordre, et qu'elle serait du second, ainsi qu'on le voit facilement, si p' n'avait pas la même valeur pour les deux courbes.

Par suite

mais pour l'ellipse