PC0S

par suite

<7 = — r- et />' = —-;

De plus, cette valeur de q' s'appliquera aussi à l'hyperbole si, ainsi que nous l'avons supposé, on considère «' comme négatif pour cette courbe.

Nous aurons par suite, dans tous les cas,

, p' pp" cos'o

et l'équation de la conique osculatrice sera, dans tous les cas,

/ pp"cos^o\ j2= •2p coso^r — I I — -^ — 5 — -\x\

Si nous considérons, en particulier, la spiralelogarithmique, p"= G et, par suite, la conique osculatrice aura pour équation

x^-\- X' ~ spcoso^ = o.

C'est une ellipse dont les diamètres conjugués égaux sont parallèles aux axes. Ces diamètres sont d'ailleurs égaux à PCOS9, c'est-à-dire à la projection du rayon de courbure sur l'axe dirigé suivant la tangente à la courbe diamétrale. Les axes de l'ellipse osculatrice seront, par suite, égaux à

p coscp y/'iztsino

\Jiçi coso cos (45'

et sjipdosos

Application. — Soient [Jig. 12)

Fig. 12.

ABC un arc infiniment petit ;

AD et CD les tangentes aux extrémités de cet arc :

K le milieu de la corde AC.

Joignons le point K au point de rencontre D des deux tangentes, et soit B le point où DK rencontre l'arc ABC, on demande de déterminer la différence des deux segments BD etBK deDK.

Cette différence étant du quatrième ordre, il suffira de la déterminer pour la conique osculatrice en B. Rapportons celle courbe à la tangente en B et au diamètre qui passe en ce point.

Soient

BD = — x' et BK = x,

l'équation de la conique osculatrice étant

y- =z ip' X — q' x''.

On a, entre x et x' , la relation

p'ix + ^') = q' xx',

d'où, puisque x -\- x' = BK — BD,