VIII. Dans ce cas facile, où l'on a simplement

/(z) = z(z-i), je partirai, en supposant

de l'identité suivante :

^Ifir^ =e-^-[0'(z) - xe{z)]

= e— [-.rV"-' (z) -+- (m -+- i)f"'{z)f"{z) ■+- m{m + 1)/'"-/'^ [z)], et j'observerai que

.f\z) = 42' - 4z ■+- 1 = 4/(2) H- I, /''(2) = 2, ce qui permet de l'écrire ainsi :

llf:!!£M]=e-^-[x7'"-*-n2) + (2/n-^i)(2w4-2)/'"(z)-^?/î(m4-i)y'^^

( i6 ) Nous aurons donc, en intégrant,

et ensuite, si nous prenons pour limites z = 0 et s = i ,

-f- i) Te-^-y— Vz)^z.

.-h m [m Soit maintenant

et cette relation deviendra

v?m'ent :;'-f ?"3'"'' T' ^'"'^" '^'^^'''"^ ^" ^ ^"PP^-^ "vement w i, 2, 3,..., les équations qu'on en tire

donnent aisément la fraction continue

et il suffit d'employer les valeurs

( >7 ) d'où l'on conclut

pour retrouver, sauf le changement de x en -> le résultat de Lambert (*)

Eu abordant maintenant le cas général el me proposant d'obtenir, à l'égard des inlégrales définies

r%-V-(r.)^z, f\-^f'"{z)dz,..., Ç\-^f\z)dz,

t/O «/O Jo

un algorithme qui permette de les calculer de proche en proche, pour toutes les valeurs du nombre entier 772, j'introduirai, afin de rendre les calculs plus symétriques, les modifications suivantes dans les notations précédemment admises. Je ferai

au lieu de

de manière à considérer le polynôme le plus général de degré n -{- i\ désignant ensuite par Z l'une quelconque des quantités z,, Zg,..., z„, je raisonnerai sur l'intégrale

qui donnera évidemment toutes celles que nous avons en vue, en faisant Zq = o. Cela étant, voici la remarque qui m'a ouvert la voie et conduit à la méthode que je vais exposer.

(*) Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques [Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin y année 1761, p. 265). Foir aussi la Noie IV des Éléments de Géométrie de Legendre, p. 288.

( i8 ) IX. En intégrant les deux membres de la relation identique

ÛÎIip^ =e-'[mJ-'(z)J'(z)-J"'(z)], on obtient

e-'f-[z) = mje-^J'^-^(z)f'[z)dz-je-'J"^{z)dz, et, par conséquent,

f^e-'f'"(z)dz=m Ç'e-'j"'-' (z)f\z)dz, ou encore

d'après la formule

/(z) Z — Zo Z — Zt "' z — z„

Or ce sont ces nouvelles intégrales qui donnent lieu à un système de relations récurrentes de la forme

( <9) OÙ les coefficients (/^), ainsi que leur déterminant, s'obtiennent d'une manière facile, comme nous verrons.

C'est donc en opérant sur les éléments au nombre de n^-h i , dans lesquels a été décomposée l'intégrale / e~'J'"'(z)dz^ que nous parvenons à sa détermination, au lieu de chercher, comme une analogie naturelle aurait paru l'indiquer, une expression linéaire de / e~'j'"'*'"'^\z)clz, nu moyen de

f e-'f"{z)dz, ["e-'-J"'-^'(z)(h,..., f e-y"'^"[z)\

\rlz.

Mais, soit d'une manière plus générale, pour des valeurs entières quelconques des exposants,

F{z) = {z- Zofo {z - z, /... . [z - z„f«; en intégrant les deux membres de l'identité

on aura

e-^r(z)= fe~'F'{z)dz- Ce-'F{z)aZy d'où

f e-'F{z)dz= f e-'F'(z)dz.

Maintenant la formule

donne la décomposition suivante :

^c-'Fiz)dz r^t'-'F(z)dz . . r''<?"'F(z)rf2

( 20 ) qui conduira pareillement au calcul des divers termes de la suite

j\-^F(z)dz, £e-^F{z)J\z)dz,..., £ e-^¥[z)f\z)dz',

effectivement, les éléments de décomposition de l'un quelconque d'entre eux s'expriment en fonction linéaire des quantités semblables qui se rapportent au terme précédent, ainsi qu'on va le montrer.

X. J'établirai pour cela qu'on peut toujours déterminer deux polynômes entiers de degré tz, 0(z) et ©i (z), tels qu'on ait, en désignant par Ç l'une des racines Zq, z-n---» ^w ^^ relation suivante :

ycZiilZii) rf, = y er^îi^ rf, e-^F(.)e(z).

En effet, si, après avoir différentié les deux membres, nous multiplions par le facteur Trr-?' il vient

Or f[z) étant divisible par 2 — Ç, le premier membre de cette égalité est un polynôme entier de degré an H- i; le second est du même degré, d'après la supposition admise à l'égard de'^(z) et 0, (z), et, puisque chacun de ces polynômes renferme ainsi n h- i coefficients indéterminés, on a bien le nombre nécessaire égal à 2 w H- 2 de constantes arbitraires pour effectuer l'identification. Ce point établi, j'observe qu'en supposant z = z, la ^^

fraction rationnelle ^ a pour valeur fJL,/(z,); on a, par CQ^isequent,

ces conditions

0,(Zo) = fJ.o/'(Zo)0(Zo), ■-"'^

Q,{z„)=lJ.nf'{z„)e{z„), f

qui permettent, parla formule d'interpolation, de calculer immédiatement

(-), (z), lorsque 0(z) sera connu. Nous avons de celte manière, en effet, l'expression suivante :

dont nous ferons bientôt usage. Pour obtenir maintenant 0(z), je reprends la relalion proposée, en divisant les deux menibres pary(z), ce qui donne

ei je remarque que, la fraction -jj-r n'ayant pas de partie entière, on est

amené à cette conséquence, que le polynôme cherché doit être tel que la partie entière de l'expression

soit égale au quotient • C est ce qui conduit aisément à la détermina-

tion de ©(z). Soit d'abord, à cet effet,

ce qui donnera

= z"-hÇ

+ Pn^

ou plutôt

en écrivant, pour abréger,

Çi = r-f-/^.Ç'-'+M'-^-H..-

Soit encore

0(z) = «oZ"-+- a,z"-' -h «jz""- -h

et développons la fonction ^-^r suivant les puissances descendantes de la variable, afin d'obtenir la partie entière du produit ——^^[z). Il viendra

ainsi, en posant Si = p-o^o + P-i^'i

riz) s.

ix^z\

el, par conséquent,

— H CCq Jq

Les équations en «o, a,, «a,..., auxquelles nous sommes amené par l'identification, sont donc

Ça = «2 — «) (-^0 -+- '^ — ' ) ~" «^0 -^i 5

Ça =«3 — «al-^o -+- « — 2) — a, J, — «0*2»

Elles donnent

a< = Çi + «^0 + ^h

«2= ^2 + (-^0 + « — 0Ç« + (•*'o + n){So + n — \)-h S,,

et montrent que a^, a,, «2,... sont des polynômes en Ç ayant pour coefficients des fonctions entières et à coefficients entiers de s^, *<, s^,... et par suite des racines z^, z,,... z„. On voit de plus que a, est un polynôme de degré i dans lequel le coefficient de Ç* est égal à l'unité; ainsi, en posant pour plus de clarté

et écrivant désormais 0(z, Ç) au lieu de 0(z), afin de mettre Ç en évidence, nous aurons

( 23 ) De là résulte, pour le polynôme 0, (a}, la fornuile

0,(z) f/o0(2o, 0 ^p,0(z„O , , fA„0{2„, 0

J[z) Z — Za Z— Z, Z— Z„ t

et l'on en tire immédiatement le résultat que nous nous sommes proposé d'obtenir. Il suffit en effet de prendre les intégrales entre les limites z^ et Z dans la relation

ce qui donne

Jz. ^-Ç Jz. ■>{'■)

C'est surtout dans le cas où l'on suppose

que nous ferons usage de cette équation ; si l'on fait alors

me \zi, z„) = {ik)

et qu'on prenne Ç successivement égal àz^» ^<vî 2„, on en conclut, comme on voit, les relations précédemment énoncées, qui résultent de celle-ci :

+ Un)fq^d.,

pour I = o, I, 2,..., 7i. Je resterai encore cependant dans le cas général pour établir la proposition suivante.

•< XI. Soient ^ et ^ Jes déterminants

et

'me

je dis qu'on a

Effectivement, l'expression de 0(z, Ç) sons Ja forr

montre que A est le produit des deux déterminants

et

^2(zo) 0,{z,)... Q,[z„)

On{Zo) QJS)'- Qn{z,,

Mais ôi{^) étant un polynôme en Ç du degré / seulement, de sorte qu'on peut faire

( 25 ) celte seconde quantité, d'après les théorèmes connus, se réduit simplement à la première, et l'on a bien, comme nous voulions l'établir,

A = à\ Cela posé, soient

^m-= — '- Ce-^f'"{z)dz,

4= — L__ri:z:(i)rf,;