CHAPITRE III

ÉVALUATION DE QUELQUES SOMNES OU FIGURENT LES RACINES p.

§ 1. Évaluation de la somme £ -^^r-*

33. La somme indiquée dans le titre de ce paragraphe est supposée s'étendre à toutes les racines p = a -t- pi pour lesquelles p est positif et > b. Nous supposerons quo b est assez grand pour que Ton puisse appliquer l'inégalité (54) du n® 32 dans tous les termes de cette somme.

34. Rappelons d'abord un théorème établi par M.von MailgoUlt et que nous aurons à appliquer (*) :

Si \iet\i sont deux nombres réels vérifiant la condition

tgi ^l,.^*!^ A: 5^/1— 4,

le nombre des racines ol + f5i, pour lesquelles (3 est compris entre h — keth-^kjCSt inférieur à klh.

35. Pour utiliser ce théorème, écrivons la somme à évaluer sous la forme suivante :

oùO < e< 1.

(*) Zu Riemann*s Abkandlung : Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse, Journ. f. die r. u. a. JI^th., B. CXIV, p. 265.

(40) On a, par la formule (84) de la première partie,

La dérivée par rapport à ^ de la fonction qui est au second membre est, à un facteur positif près,

cette fonction deviendra donc maximum pour

(i)- . /i-— V-^-^' d'où p = we *-«;

,. . it^\/l!!L^ d'où p =

et ce maximum sera

On a donc

36. Tout revient donc maintenant à l'évaluation de cette dernière somme.

 cet effet, désignons par 2' une somme étendue aux val eurs de P comprises entre r et5; on aura

jS>» P 6 ftfî* 6+4*

et, par le théorème de M. von Mangoldt (n^ 34),

(5)- • ^,p< ^[-6H^ "' (6 H- 2it)H« ■*••••]•

Mais on a d'abord, par la formule /(a -*- a:)< /a -♦- f , /(6 -4- 3A:) /(6 -f- 2A;) A;

(41 ) ensuite, en intégrant par parties, on a

I Z' ** Xf/x

Si donc 6 est assez grand pour qu'on ait

/" xl(b -4- x)f/x i^' »* xrfx 2A:*

T^'"ir^'+^ ^J {b ^ x)«+^ "*" (6"

ce qui aura certainement lieu si /ft > 2 (*) et ce que nous supposons (n^ 33), il viendra

l(b -+- Zk) \ /'»* f(6 ^ x)dx

Comme cette relation s'applique aussi aux termes suivants de la formule (3), il viendra, le premier terme seul au second membre n'étant pas transformé dans cette formule,

^ i kl(b -^ k) I /'* Ixdx

On trouve, en effectuant l'intégration,

/• Ixdx ^\lb I - /^* dx ^ I r n

O On déduit, en effet, de ^^ > 1 + 1

xdx

/»* x/(6 -f- x)(/x /*«* xdx /«*

ip 4- x)«+« ^y (6 -+- x)«+« "^y (6 -+- 2fr)«+«

^ /•" a?c/x 2fe«

(42 ) et, en substituant dans (4),