CHAPITRE II
Rbcberchb d'une limite supérieure de la partie réelle
DES RACINES p.
§ l«^ Démonstration d'une inégalité fondamentale»
18. Posons s sa u -I- ^i. Nous supposerons, dans tout ce chapitre, que u est une quantité réelle, voisine de l'unité par excès, et que t est réel, positif et > 12.
( 24) L'équation (3), eu égard à l'identité
Ç(«) peut évidemment s'écrire
w- • 2— -,-zrr-i'««'-â
^|p"— 1 P' — ij Çw
On a
où la première somme s'étend à tous les nombres premiers successifs et les deux suivantes à toutes les puissances jT des nombres premiers. On aura donc
2tè7-?^]-?^(-'-«
et la somme du second membre s'étend à toutes les puissances p" des nombres premiers.
Remarquons maintenant qu'on a l'équation
i ,. , V .. , < — cos2m//»
-(i — cosm(/p)(i -♦- cos mUp) = ;
il viendra, en multipliant respectivement les termes de la dernière somme (qui sont tous positifs) par —^^p ^ qyj ^i >Oet <1,
Afin d'abréger l'écriture, nous allons convenir une fois pour toutes que, lorsque nous écrirons des inégalités entre quantités
imaginaires, ces inégalités se rapporteront aux parties réelles des deux membres seulement.
Moyennant cette convention, l'équation (25) nous donnera par l'inégalité précédente
Posons maintenant $' = u -•- ^ti.
On peut écrire une équation analogue à (25) en changeant le signe des deux termes en u qui se détruisent et en changeant s en £' dans cette équation ; ce sera
-^yïJi^ ??__'U^-.
Divisons cette équation par 4 et ajoutons-la membre à membre à l'inégalité précédente. Les parties réelles des sommes S se détruiront au second membre et nous trouverons (« = a -*- ti, s' = u -♦- 2rt)
4Çm "*" 4s' — 1 "*"8
Cette inégalité qui a lieu entre les parties réelles des deux membres est l'inégalité fondamentale sur laquelle se base notre démonstration.
§ 3. fJmile supérieure de (1 — a), qui résulte immédiatement
de l'inégalité fondamentale (37).
19. La démonstration que nous poursuivons résulte déjà de la relation (27). On remarque en effet que, si u est > 1, tous les termes du premier membre ont leur partie réelle positive, puisque p a la sienne < 1. L'inégalité (27) subsistera donc a fortiori si l'on borne le premier membre au seul terme de la première somme relatif à la racine particulière p = a -♦- pi. Si Ton fait alors ^ = |3, ce terme unique se réduit à
tt — a
Faisons maintenant tendre u vers l'unité; il n'y a qu'un seul terme au second membre de (27) qui puisse croître indéfiniment, c'est le premier de la seconde ligne, qui devient infini comme
Donc a est < 1, sans quoi le premier membre de (27) finirait par surpasser le second. Mais on voit facilement que l'on peut obtenir une limite inférieure de la différence 1 — a.
Nous ne nous contenterons pas de la démonstration générale qui résulte de la formule (27), parce qu'il y a moyen d'abaisser davantage la limite supérieure de a, comme on le verra au § 4. Nous allons cependant exposer en détail cette démonstration, parce qu'elle est plus simple que celle que nous exposerons ensuite et rendra l'intelligence de celle-ci plus facile. D'ailleurs, les calculs que nous allons faire ne nous seront pas inutiles.
20. Substituons au second membre de la formule (17) les valeurs suivantes, tirées de la formule (9) :
2 /K-4-/t \ 21 h (ii-4-2]*+t' \3(tt4-2)« 2<» /J /'ii-*-2« \
I l~"V^ir ^(u^2) ^ /^^(u:^')l
la formule (27) deviendra
OÙ f (u, désigne l'expression, évanouissante avec 1 : (,
( ""îiw -4-2)«-»-4<*'*'^L>6(«-*-2)< "*" cil r /J*
Dans cette formule, 6 est compris entre — 1 et h- 1. On peut aussi mettre cp (u, t) sous la forme
4 [(u — i)» ^ ie*] L(M ■*- ^i)* -^ 4(']
Ll0(tt-4-2)< ()4\ ( /J
Comme t est > 12, les deux premiers termes du second membre qui sont négatifs l'emportent certainement de beau-
coup sur le second des termes entre crochets si u — - 1 est petit ; et Ton a» si f est positif,
(3^) fKO<~: ^<
16 (il -4- "tjt i6t car, u étant > 1, u -♦- 2 sera > 3.
21. Nous allons utiliser immédiatement ce résultat. La formule (28) peut s'écrire, en abrégé,
32) 2 -^tI -' < I Y -*- 5»og< - m,
en posant
" ® 2 4\Çu t# — 1/ ^
On a maintenant, pour u — 1 ^t^,
-logîr> 0,71545
4 \Çfi u ^ ij
la dernière inégalité se déduisant de Ja formule finale du n® 14. Donc
22. Soit maintenant p =3 a 4- |3i une racine de 2^(5); bornons le premier membre de la formule (32) au seul terme de la première somme relatif à cette racine et faisons t = P\ il viendra a fortiori
(33). . . . < 7 j -♦- A log p — m,
( 29 ) en [>osaTit, en abri^gé,
(54) h-^l et '«=1,^85^- yçp-
On tire alors de la formule (33)
h (/ilogp — »0
l't, comme 1 — a = u — a — (w — \\
-(m— !)(/«Iog^— m)
-H- (MogÔ— m)
Posons, pour simplifier, x pouvant être choisi arbitrairement avec M,
(55) («-lKfelogp-m) = a-. d'où «-'==/,,„ J,„:
il viendra
h \oç; p — m 5 h- 4x Le maximum de cette fraction en x a lieu pour
.r= ^ d'où - = -- — Ko.
On en conclut, par conséquent, comme 1/3 = 1,7320S,
P ÎH /t log P — »»
4(/i log j3 — m) Il log p —
ni
28. Si l'on remplace dans ces expressions A et m par leurs valeurs (34), il vient
log (3 — 2,3734
top
log (3 — 2,3734
La formule (38) dof^ne la limite inférieure de 1 — a que nous voulions obtenir. Mais, pour qu'on puisse l'appliquer, il faut, comme nous l'avons supposé, que u — 1 soit < ^« Cela aura lieu, d'après la formule (39), si
ïogp - 2,3734 > 12.0,18563= 2,2275 log p > 4,6009,
et, par conséquent,
Remarque — Si Ton substitue cette valeur limite de p et de son logarithme dans la formule (38), il vient
0,0287 «-«>T2-2g-><>'OI28.
Si fi est < 99,56 ou 100 environ, on ne peut plus appliquer la formule (38), mais la valeur de 1 — a sera au moins égale à celte limite 0,0128 que fournil la formule pour p = 100. En effet, on peut toujours supposer u — \ = ^ dans la formule (33); alors, p étant < 100, il est clair que cette formule donne pour u — a et, par suite, pour 1 — a une limite au moins égale à celle que l'on obtient pour p = 100, savoir 0,0128.
§ 3. Transformation de IHnégaliîé fondamentale (27).
24. Objet de ce paragraphe. Dans la démonstration faite au paragraphe précédent, on a négligé complètement les sommes qui figurent au premier membre de la formule (26), sauf un seulement de leurs termes. Nous allons reprendre la démonstration en nous proposant de tenir compte autant que {possible de ces termes.
A cet effet, nous distinguerons deux espèces de sommes 1 étendues aux racines p. Nous désignerons par î^' des sommes étendues à toutes les racines dont la partie réelle a est^i et par £" des sommes étendues à toutes les racines dont la partie réelle est > 1.
25. Recherche d'une inégalité relative aux sommes £'. Nous allons d'abord chercher une limite inférieure des sommes £' que nous venons de définir. A cet effet, soit u' une quantité réelle > «; on a (m étant lui-même > 1)
(M - a)* -♦-(( — pY «' — a (w' — «)* -f- (l — (3)'
Mais -7 — -. où u' > M > a, diminue quand a augmente et acquiert sa plus petite valeur g^rr:^ > g^rirï Quand a atteint le maximum i qui lui est assigné. 11 vient donc, en se rappelant que les inégalités se rapportent aux parties réelles des deux membres seulement,
On a ensuite, pour O^a^i,
(m'—I -4-a)^ -¥- (l—pY
(«' - «; + (* - py
11— a (u' -^i -♦-a)*H- (t — pf ^u'-1 H-a t«' — 1
(32) et l'on en déduit, par l'addition de l'unité aux deux membres,
ti'— (1— gt) II'— a 2w'— I II'— a
L'inégalité (40) devient donc a fortiori
2i s^p > (2,4' — i )« ^ [(tt'-«)«+ (<-.p)« "*" (m'-I +«)V(I-P)« J *
Or, la somme au second membre contient maintenant tous les termes réels de la somme non accentuée
^ n' ■+• ti — p
étendue à toutes les racines p, et même deux fois ceux où aL«= i s'il y en a. Donc on aura a fortiori
(41). . • > > TT"; — ni" Z "ï — r
Nous allons maintenant choisir u' de manière à rendre maximum le coefficient de la somme du second membre. La dérivée fournit l'équation 2u' — 1 = 4 (m' — 1), d'où l'on tire
de sorte que l'inégalité (41) devient
^ S — p 8^w-hCt — p
Ajoutons à cette inégalité celle qui s'en déduit par le changement de t en it et par conséquent de s en s* [nP 18); il viendra
^7^p'*'ï^8^^s\:^7Th^^
Dans le cas particulier où m — 1 ^ j^ et où s a la même partie imaginaire 11*= ^i que l'une des racines p, on peut encore ajouter ^ au second membre de cette inégalité. En effet, celle-ci a été obtenue par la sommation d'une suite de relations de la forme
où u' = ^. Considérons celle où f = p et, par suite, s — p = u — a; la différence entre ses deux membres sera minimum si II reçoit sa plus erande valeur ;j^ et a sa plus petite valeur 0. Ce minimum est ^ et c'est a fortiori une limite inférieure de la différence entre les deux membres de l'inégalité obtenue après la sommation.
Dans la suite, nous supposerons toujours que ^ a la même partie imaginaire qu'une des racines p, de sorte qu'on aura l'inégalité
/k^u'^'2li—p] 59
26. Recherche d*une inégalité relative aux sommes Jl", Les sommes 2 se composent des sommes S' et S" (n® 24); on aura donc en vertu de l'inégalité précédente
-^s — p A ^ s — p L* — P ^ ^ s — pj
8 L-^ w' -f- n' — p "*" 4 -^ u' -t- Mi — pJ 39
Remplaçons au second membre la première quantité entre crochets par le second membre de l'inégalité (28) et la seconde
quantité entre croehets par le même second membre de (28), où l'on change seulement u en u'. Je dis que l'on aura a for^ tiori
Comme nous avons remplacé les deux crochets par des quantités plus grandes en vertu de Tinégalité (28), nous devons encore justifier que leur différence a été augmentée en même temps. Pour cela, il suffira de montrer que la différence des deux membres de l'inégalité (28) diminue quand u augmente et est, par suite, moindre pour u' que pour u. La différence entre les deux membres de (28) est la même que celle des deux membres de (27) ou de (26). Celle-ci, d'après la manière dont la formule a été établie au viP (18), a pour valeur
Jd pMM ^
cos m
I In
et, en la mettant sous la forme
on reconnaît immédiatement qu'elle diminue quand u augmente. L'inégalité (44) est donc justifiée.
Reportons-nous encore au raisonnement que l'on a fait au n® 20 pour passer de la formule (30) à la formule (31). On peut reproduire sur la différence des termes correspondants de ^(u,t) et de g <p(ti',/) le raisonnement que l'on a fait sur chacun des termes de ç(u, 0* ^1 vient ainsi
La formule (44) peut donc se mettre sous la forme suivafitc, analogue à celle de la formule (32),
^8 — p 4^< — ^ Au — \ 64
en posant, pour abréger,
3 / \ ç'ti\ 7 /5 , . \
4\m — i tu) 16 U /
£ÇV 23 9J^ On a dans cette expression u — l<:j^etM'=2*
I 4. Limite inférieure de (1 — a) çtit résulte
de la formule (48).
27. La valeur de m donnée par (46) se calcule au 'moyen des résultats obtenus aux numéros 13 et 14. On a, u — l^étant ^ i et M' égal à |i
7(—'-7 + ^)> 0,42144 22 4 \tt — 1 Çw /
— ( /jr -*- Z2 ) = 0,92927 60- 16 U /
On peut donc faire (47) m = 2,0gl57 23 — -7^
28. Limitons maintenant le premier membre de la formule (4S) à une seule racine a + ^i et posons t == ^. |] viendra a fortiori
<- -•- Alogp — m
29. Cette formule a exactement la même forme que la formule (33) sur laquelle on a raisonné au n"" 22; il n'y a de changé que les valeurs de h et de m. Cette formule se transforme donc exactement comme celle du n® 22 et Ton trouve les formules correspondant à (36) et (37) :
A log p — m /* log p — m
4(A log p — m) Il log p — m
En remplaçant maintenant h et m par leurs valeurs écrites plus haut, ces formules peuvent aussi prendre la forme
en posant, en abrégé,
logp —
30. Pour que ces formules soient applicables, il faut, comme le suppose la démonstration, que la valeur de (u — 1) donnée par (50) soit inférieure à ^y 11 faut donc que l'on ait
Alogp— m > 12.0,H6025= 1,3923.
Cela aura lieu, m étant < 2,08187 23 (form. 48), si
A log p > 3,473877, log (3 > 6,35223
et, a fortiori, si |3 > 574.
Dans ce cas, on a 9 : 70 fJ < 0,000224; la formule (52) donne
et, en substituant cette valeur dans la formule (51), on' obtient le théorème suivant :
31. Théorème. A partir c/e ^ > 574, on a, entre les parties réelles et imaginaires d'une racine a -¥- pi de^ (s), la relation
^ "^ log p — 3,806
Si |3 est < 574, la valeur de \ — a sera au moins égale à celle que fournit cette relation pour p = 574.
La dernière partie du théorème reste seule à démontrer, mais il suffit pour cela de reproduire la remarque qui termine le no 23.
32. La formule (53) peut encore s'écrire sous une autre forme, qui est plus avantageuse au point de vue des démonstrations ultérieures.
Comme 3,806079 est le logarithme naturel de 44,9737, la formule s'écrira aussi sous la forme plus condensée
/p — /n où Ton a
C'est cette formule (54) que nous allons appliquer maintenant dans la seconde partie du mémoire {*).
(*) En établissant la formule (54) , nous n'avons pas encore tiré tout le parti possible de Tarlifice utilisé au § 3. Nous indiquerons dans une note à la fin du Mémoire le moyen d'augmenter légèrement les valeurs de p et de n. Ces nouvelles valeurs seront applicables également dans la seconde partie du Mémoire*
