Si l'on porte cette valeur dans (2), il vient
Cette formule, où l'on donnera à A; sa plus plus petite valeur k = 1,8541 (n« 34), renferme encore un paramètre arbitraire e > et < 1 , que Ton peut particulariser de différentes manières.
C'est ce que nous allons faire au paragraphe suivant.
§ 2. Cas particuliers de la formule (6) qui précède»
38. Premier cas particulier. Si l'on désire obtenir la formule la plus avantageuse au point de vue asymptotique, c'est^ à-dire pour les valeurs indéfiniment croissantes de y, il faut poser
ce qui rend minimum la valeur principale du second membre de (6). Si l'on observe alors que l'on a
d'où
1/(1 - e)ply > l/j^l -!-:,
la formule (6) prendra la forme
(1) 2^<^Wi/«'''^*'
(43) où Â est une quantité qui reste finie. On peut faire, b étant > n,
L [/^ ^ph J
Comme la valeur de  n'est pas très petite, la formule (1) ne devient avantageuse que pour de très grandes valeurs de y. On peut obtenir d'autres formules également utiles, en donnant à 6 une valeur fixe. En voici un exemple.
39. Deuxième cas particulier. On obtient une formule simple en donnant à e la valeur^. Si, en outre, pour déterminer complètement la formule (6), nous y posons fc =r 5* = 625, nous obtiendrons
(3) y -^ <0,0i6He-^^-
fi>iu P
Car on trouve, tous calculs faits.
Rappelons, à ce propos, les valeurs de j? et de n (n^ 32) p = 0,03282, M = 44,9737.
§ 3. Évaluation de la somme 2 -^ — -^ ou er*.
40. Nous supposerons dans le paragraphe actuel que cette somme s*étend à toutes les racines a -4- ^i sans distinction.
Nous pouvons déjà la partager en deux parties, la première 2' étendue aux racines a -♦- fJi où a^ i, la seconde 2" étendue aux racines où a > i.
On a donc
41. La somme 2' a comme limite supérieure la valeur obtenue eu supposant que a = ^ pour toutes les racines. On a donc
/ov y y'~' = 2 ^ g ^0,0462
par la formule (S) du n" 5 de la première partie du mémoire.
42. Passons à la somme 1". Nous pouvons aussi la partager en deux parties
inodiJ<* ** -♦- ^* mod^>» «* -♦" P*
On a identiquement
La différence écrite en seconde ligne est négative, puisque 1 — a < a; ensuite la somme écrite en première ligne ne peut surpasser la somme non accentuée S ^a^og -; il vient donc
niod7<6 a -♦- P a -f- p
Enfin, comme, pour p<fr, onaa — 1< — /^zj^, il vient
(3) 2" -r-Tt<0,0:>51 «'*-"••
Considérons maintenant la seconde partie
^ «* i ft' iDod /<>* a -«- p
( 45 ) Celie-ci est inférieure à
A* a.oàfi>b P
Les formules des deux paragraphes précédents nous donnent une limite supérieure de celte somme. Elles nous donnent, eu effet, une limite de
Dans cette dernière somme, on ne tient pas compte d'une moitié des racines qui correspondent aux valeurs négatives de jâ; mais, dans la somme précédente, il y a aussi la moitié au moins des racines qui ne figurent pas, celles où a^i. Les racines négligées dans les deux cas se correspondent deux à deux pour les mêmes valeurs de p2, nous pouvons donc faire usage des mêmes limites.
43. En substituant ces valeurs, on trouve, suivant celles des deux formules (1) ou (3) du paragraphe précédent que Ton utilise,
(4) y -r- < ' S ■*- 0,0231 e '*"'- -+- A»/ye-*^"'^
ou bien
car dans cette dernière formule b = 025, Ib = C,i377o. On a d*ailleurs dans les deux formules
In == 3,806079
et l'expression de A se trouve au n^ 38.
44. L'examen de la formule (4) permet d'écrire aussi immédiatement la formule, commode au point de vue des conséquences asymptotiques,
(6) 2-r3-s<Bp/ye-*'"'.
OÙ B est une quantité qui reste finie quand y tend vers l'infini et dont l'expression complète, assez longue, s'obtient en remplaçant A par sa valeur (2) au n^" 38 dans la formule
B=. A -. 0,0251 e-'^^-.-2!2iÊ!e'»^.
Les formules (4), (8) et (6) montrent que la somme que nous étudions tend vers zéro quand y tend vers l'infini. Hais, à cause de la petitesse de p, cette décroissance est extrêmement lente et ne devient considérable qu'à partir des valeurs de y ayant au moins une centaine de chiffres. C'est, en tout cas, tout ce que l'on peut conclure de ces formules.
46. La somme que nous étudions ici reviendra souvent dans la suite. Pour abréger l'écriture, nous représenterons sa racine carrée par v, ou, en d'autres termes, nous poserons
La quantité a est donc une quantité qui tend vers zéro quand y tend vers l'infini, et les différentes formules de ce paragraphe permettent d'en déterminer approximativement la valeur quand y est donné.
En particulier, la formule (6) donnera
(8) (7<l/Bl/p/yc-*^»
où B est une quantité qui reste inférieure à une limite fixe que l'on pourrait facilement assigner.
(47) De là découle le théorème suivant :
46. L'expression désignée par 9 est infiniment petite en même temps que i : y et elle est d'un ordre de petitesse au moins égal à celui de l'expression
OÙ p — 0,03282..
